Решение системы уравнений с окружностью и графиками

Для решения этих задач нужно понимать, что уравнение \( x^2 + y^2 = 16 \) описывает окружность с центром в начале координат \( (0;0) \) и радиусом \( R = \sqrt{16} = 4 \). Количество решений системы — это количество точек пересечения графиков. Запись в тетрадь: 1) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = x - 2 \end{cases} \] Анализ: Прямая \( y = x - 2 \) проходит через точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \). Эти точки находятся внутри окружности радиусом 4. Следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках. Ответ: 2 решения. 2) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = x^2 - 5 \end{cases} \] Анализ: Вершина параболы находится в точке \( (0; -5) \), что ниже нижней точки окружности \( (0; -4) \). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересечет нижнюю часть окружности в двух точках и верхнюю часть в двух точках. Ответ: 4 решения. 3) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 4 \end{cases} \] Анализ: Прямая \( y = 4 \) является касательной к окружности в её самой верхней точке \( (0; 4) \). У них только одна общая точка. Ответ: 1 решение. 4) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = -8 \end{cases} \] Анализ: Окружность ограничена по оси \( y \) значениями от \( -4 \) до \( 4 \). Прямая \( y = -8 \) проходит значительно ниже окружности и не имеет с ней общих точек. Ответ: нет решений.