Решение дифференциального уравнения dy/(y^2 + 4) = 3^x

Решение дифференциального уравнения: \[ \frac{y'}{y^2 + 4} = 3^x \] 1. Заменим \( y' \) на отношение дифференциалов \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{1}{y^2 + 4} \cdot \frac{dy}{dx} = 3^x \] 2. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на \( dx \): \[ \frac{dy}{y^2 + 4} = 3^x dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y^2 + 4} = \int 3^x dx \] 4. Вычислим интегралы. Слева используем табличный интеграл вида \( \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \text{arctg} \frac{u}{a} \), где \( a = 2 \). Справа — интеграл от показательной функции: \[ \frac{1}{2} \text{arctg} \frac{y}{2} = \frac{3^x}{\ln 3} + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. 5. Выразим \( y \). Сначала умножим всё уравнение на 2: \[ \text{arctg} \frac{y}{2} = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + 2C \] Для удобства обозначим \( 2C \) как новую константу \( C_1 \): \[ \text{arctg} \frac{y}{2} = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C_1 \] 6. Возьмем тангенс от обеих частей: \[ \frac{y}{2} = \text{tg} \left( \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C_1 \right) \] 7. Окончательно выражаем \( y \): \[ y = 2 \cdot \text{tg} \left( \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C_1 \right) \] Ответ: \( y = 2 \text{tg} \left( \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C_1 \right) \)