Решение задачи №7: Исследование квадратичной функции

На доске представлены задания на исследование квадратичных функций (парабол). Обычно в таких задачах требуется найти координаты вершины, точки пересечения с осями координат и построить график. Решение для функции №7: \[ y = -3x^2 + 12x - 9 \] 1. Определим направление ветвей: Так как коэффициент \( a = -3 \) (меньше нуля), ветви параболы направлены вниз. 2. Найдем координаты вершины параболы \( (x_0; y_0) \): \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2 \] Подставим \( x_0 \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_0 \): \[ y_0 = -3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 9 = -3 \cdot 4 + 24 - 9 = -12 + 24 - 9 = 3 \] Вершина параболы: \( (2; 3) \). 3. Найдем точки пересечения с осью \( Ox \) (корни уравнения \( y = 0 \)): \[ -3x^2 + 12x - 9 = 0 \] Разделим всё уравнение на \( -3 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 3 \] Отсюда \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \). Точки пересечения с осью \( Ox \): \( (1; 0) \) и \( (3; 0) \). 4. Точка пересечения с осью \( Oy \): При \( x = 0 \), \( y = -9 \). Точка \( (0; -9) \). Решение для функции №8: \[ y = -2x^2 - 4x + 6 \] 1. Направление ветвей: Коэффициент \( a = -2 \), ветви направлены вниз. 2. Координаты вершины: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ y_0 = -2 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 6 = -2 \cdot 1 + 4 + 6 = 8 \] Вершина параболы: \( (-1; 8) \). 3. Точки пересечения с осью \( Ox \): \[ -2x^2 - 4x + 6 = 0 \] Разделим на \( -2 \): \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -3 \] Отсюда \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 1 \). Точки пересечения с осью \( Ox \): \( (-3; 0) \) и \( (1; 0) \). 4. Точка пересечения с осью \( Oy \): При \( x = 0 \), \( y = 6 \). Точка \( (0; 6) \).