Упражнение 17: Сравнение массы тела на разных планетах

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. УПРАЖНЕНИЕ 17 1. При взвешивании тел на Земле, Луне и Марсе пружинные весы показали одно и то же значение. Сравните массы взвешиваемых тел, учитывая, что \( g_{\text{З}} = 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \), \( g_{\text{М}} = 3,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \), \( g_{\text{Л}} = 1,6 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \). Дано: Показания пружинных весов (вес тела) одинаковы на всех планетах: \( P_{\text{З}} = P_{\text{М}} = P_{\text{Л}} = P \). Ускорения свободного падения: \( g_{\text{З}} = 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) (на Земле) \( g_{\text{М}} = 3,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) (на Марсе) \( g_{\text{Л}} = 1,6 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) (на Луне) Найти: Сравнить массы тел: \( m_{\text{З}}, m_{\text{М}}, m_{\text{Л}} \). Решение: Пружинные весы измеряют вес тела, который определяется по формуле: \( P = m \cdot g \). Из этой формулы можно выразить массу тела: \( m = \frac{P}{g} \). Поскольку показания пружинных весов (вес \( P \)) одинаковы для всех тел, то масса каждого тела будет зависеть только от ускорения свободного падения \( g \) на соответствующей планете. Чем меньше \( g \), тем больше должна быть масса \( m \), чтобы вес \( P \) оставался неизменным. Вычислим массы для каждого случая: Масса тела на Земле: \( m_{\text{З}} = \frac{P}{g_{\text{З}}} = \frac{P}{9,8} \) Масса тела на Марсе: \( m_{\text{М}} = \frac{P}{g_{\text{М}}} = \frac{P}{3,8} \) Масса тела на Луне: \( m_{\text{Л}} = \frac{P}{g_{\text{Л}}} = \frac{P}{1,6} \) Сравним значения ускорений свободного падения: \( g_{\text{З}} = 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) \( g_{\text{М}} = 3,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) \( g_{\text{Л}} = 1,6 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \) Очевидно, что \( g_{\text{З}} > g_{\text{М}} > g_{\text{Л}} \). Поскольку масса обратно пропорциональна \( g \) (при постоянном \( P \)), то: Чем меньше \( g \), тем больше \( m \). Следовательно, \( m_{\text{Л}} > m_{\text{М}} > m_{\text{З}} \). Ответ: Масса тела, взвешенного на Луне, будет наибольшей, затем на Марсе, и наименьшей будет масса тела, взвешенного на Земле. То есть, \( m_{\text{Л}} > m_{\text{М}} > m_{\text{З}} \). 2. Как можно на спутнике определить массу тела с помощью рычажных весов и гирь? На спутнике, находящемся на орбите, наблюдается состояние невесомости. Это означает, что сила тяжести, действующая на тела, компенсируется центростремительной силой, возникающей при движении по орбите. В результате тела не имеют веса, и обычные пружинные или электронные весы, которые измеряют вес, не будут работать. Однако, рычажные весы (или равноплечие весы) измеряют не вес, а массу тела. Они сравнивают массы двух тел. Принцип работы рычажных весов основан на равенстве моментов сил, действующих на плечи рычага. Момент силы \( M = F \cdot l \), где \( F \) — сила, \( l \) — плечо. В условиях невесомости сила тяжести \( F_{\text{тяж}} = m \cdot g \) становится очень малой или практически равной нулю. Но рычажные весы сравнивают не сами силы тяжести, а массы тел. На спутнике, даже в условиях невесомости, рычажные весы будут работать. Принцип действия: 1. На одну чашу рычажных весов помещают измеряемое тело массой \( m_x \). 2. На другую чашу помещают набор эталонных гирь известной массы \( m_{\text{гирь}} \). 3. Весы придут в равновесие, когда массы на обеих чашах будут равны: \( m_x = m_{\text{гирь}} \). Почему это работает в невесомости? Рычажные весы сравнивают инерционные свойства тел, то есть их массы. Хотя сила тяжести на спутнике практически отсутствует, инерция тел сохраняется. Если бы на чаши весов действовала хоть какая-то сила (например, очень малая остаточная сила тяжести или любая другая сила, действующая на оба тела одинаково), то весы все равно уравновесились бы при равенстве масс, потому что моменты сил \( m_x \cdot g \cdot l \) и \( m_{\text{гирь}} \cdot g \cdot l \) стали бы равны. Даже если \( g \) очень мало, равенство \( m_x \cdot g \cdot l = m_{\text{гирь}} \cdot g \cdot l \) все равно означает \( m_x = m_{\text{гирь}} \). Таким образом, рычажные весы позволяют определить массу тела, сравнивая её с эталонными массами, независимо от наличия или отсутствия гравитации. Ответ: На спутнике можно определить массу тела с помощью рычажных весов и гирь, потому что рычажные весы сравнивают массы тел, а не их вес. В условиях невесомости сила тяжести на тела практически не действует, но их масса (мера инерции) остается неизменной. Когда массы на обеих чашах рычажных весов равны, весы приходят в равновесие, независимо от силы тяжести.