Решение системы рациональных уравнений

Решение системы рациональных уравнений. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} (x + y)^2 - 8(x + y) = -16 \\ 2x - 3y = -22 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ (x + y)^2 - 8(x + y) + 16 = 0 \] Заметим, что это выражение является полным квадратом вида \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \), где \( a = (x + y) \), а \( b = 4 \): \[ ((x + y) - 4)^2 = 0 \] Отсюда следует: \[ x + y - 4 = 0 \] \[ x + y = 4 \] 2. Теперь наша система стала линейной и выглядит так: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - 3y = -22 \end{cases} \] 3. Выразим \( x \) из первого уравнения: \[ x = 4 - y \] 4. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 2(4 - y) - 3y = -22 \] \[ 8 - 2y - 3y = -22 \] \[ 8 - 5y = -22 \] \[ -5y = -22 - 8 \] \[ -5y = -30 \] \[ y = 6 \] 5. Найдем значение \( x \): \[ x = 4 - 6 \] \[ x = -2 \] 6. Проверка: 1) \( (-2 + 6)^2 - 8(-2 + 6) = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16 \) (верно) 2) \( 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 6 = -4 - 18 = -22 \) (верно) Ответы на вопросы задачи: Сколько решений имеет система уравнений? Ответ: 1 Наименьшее значение \( x \) и соответствующее ему значение \( y \): (Так как решение всего одно, оно же является и наименьшим, и наибольшим по \( x \)) Ответ: \( (-2; 6) \)