Решение школьных задач по геометрии

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Верно изображена информация на рисунках: C — углы при основании равны \( 57^{\circ} \), высота является биссектрисой и медианой. D — равносторонний треугольник, все углы по \( 60^{\circ} \). E — медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ответ: C, D, E. Задание 2. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( BH \) — высота к основанию \( AC \), \( \angle CBA = 77^{\circ} \). Найти: \( \angle HBC \). Решение: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой. \[ \angle HBC = \frac{\angle CBA}{2} = \frac{77^{\circ}}{2} = 38,5^{\circ} \] Ответ: 38,5. Задание 3. Дано: \( AB = BC \), \( \alpha = 148^{\circ} \). Найти: \( \beta \). Решение: 1) Угол \( \angle BCA \) смежный с углом \( \alpha \): \[ \angle BCA = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \] 2) Так как \( AB = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный, значит углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle BCA = 32^{\circ} \] 3) Угол \( \beta \) вертикальный углу \( \angle BAC \), значит: \[ \beta = \angle BAC = 32^{\circ} \] Ответ: 32. Задание 4. Дано: \( \triangle DEF \), \( \angle EDF = 90^{\circ} \), внешний \( \angle TFE = 140^{\circ} \). Найти: \( \angle DFE \), \( \angle DEF \). Решение: 1) Внутренний угол \( \angle DFE \) смежный с внешним: \[ \angle DFE = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \] 2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^{\circ} \): \[ \angle DEF = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \] Ответ: угол DFE = 40, угол DEF = 50. Задание 5. Дано: \( \triangle EFG \) — равнобедренный, \( FH \) — высота, \( EG = 25 \) см, \( \angle EFH = 39^{\circ} \). Найти: \( GH \), \( \angle GFH \), \( \angle EFG \). Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой: \[ GH = \frac{EG}{2} = \frac{25}{2} = 12,5 \text{ см} \] 2) Высота также является биссектрисой: \[ \angle GFH = \angle EFH = 39^{\circ} \] 3) Весь угол при вершине: \[ \angle EFG = 39^{\circ} + 39^{\circ} = 78^{\circ} \] Ответ: GH = 12,5; угол GFH = 39; угол EFG = 78. Задание 6. Дано: \( P_{QWE} = 78 \) см (основание \( QW \)), \( P_{QWR} = 45 \) см (равносторонний). Найти: боковую сторону \( QE \). Решение: 1) В равностороннем \( \triangle QWR \) все стороны равны: \[ QW = \frac{P_{QWR}}{3} = \frac{45}{3} = 15 \text{ см} \] 2) В равнобедренном \( \triangle QWE \): \[ P_{QWE} = QW + 2 \cdot QE \] \[ 78 = 15 + 2 \cdot QE \] \[ 2 \cdot QE = 63 \] \[ QE = 31,5 \text{ см} \] Ответ: 31,5. Задание 7. Дано: \( \triangle \) равнобедренный, угол при вершине \( 48^{\circ} \). Найти: угол между высотой и биссектрисой из угла при основании. Решение: 1) Углы при основании: \[ (180^{\circ} - 48^{\circ}) : 2 = 66^{\circ} \] 2) Биссектриса делит угол пополам: \[ 66^{\circ} : 2 = 33^{\circ} \] 3) Высота из угла при основании образует с боковой стороной угол: \[ 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ} \] 4) Угол между ними: \[ 42^{\circ} - 33^{\circ} = 9^{\circ} \] Ответ: 9. Задание 8. Заполнение пропусков: Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \). 1. \( \angle A = \angle C \). 2. \( \angle ABM = \angle CBM \). 3. \( \triangle ABC \) равнобедренный. 4. \( AM = 42 \) см.