Решение задачи по теории вероятностей (формула Бернулли)

1 вариант Задача 1. Дано: \(n = 11\), \(p = 0,5\), \(q = 0,5\). Найти: \( \frac{P_{11}(5)}{P_{11}(4)} \). Решение: Используем формулу Бернулли: \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \). Так как \( p = q = 0,5 \), то \( p^k \cdot q^{n-k} = 0,5^n \). \[ P_{11}(5) = C_{11}^5 \cdot 0,5^{11} \] \[ P_{11}(4) = C_{11}^4 \cdot 0,5^{11} \] Отношение вероятностей равно отношению сочетаний: \[ \frac{P_{11}(5)}{P_{11}(4)} = \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} = \frac{\frac{11!}{5! \cdot 6!}}{\frac{11!}{4! \cdot 7!}} = \frac{4! \cdot 7!}{5! \cdot 6!} = \frac{7}{5} = 1,4 \] Ответ: в 1,4 раза. Задача 2. Дано: \(n = 12\), \(k = 9\). Найти количество элементарных событий. Решение: Количество элементарных событий, благоприятствующих \(k\) успехам в \(n\) испытаниях, равно числу сочетаний из \(n\) по \(k\). \[ C_{12}^9 = C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \] Ответ: 220. Задача 3. Дано: \(n = 5\). Вероятность попадания одним выстрелом \(p_0 = 0,6\). На мишень дается до 2 выстрелов. Найти: \( \frac{P_5(5)}{P_5(4)} \). Решение: Сначала найдем вероятность поражения одной мишени \(p\). Мишень НЕ поражена, если оба выстрела — промахи. Вероятность промаха при одном выстреле: \( q_0 = 1 - 0,6 = 0,4 \). Вероятность промаха по мишени двумя выстрелами: \( q = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \). Тогда вероятность поражения мишени: \( p = 1 - 0,16 = 0,84 \). Используем формулу Бернулли для \(n = 5\): \[ \frac{P_5(5)}{P_5(4)} = \frac{C_5^5 \cdot p^5 \cdot q^0}{C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^1} = \frac{1 \cdot p^5}{5 \cdot p^4 \cdot q} = \frac{p}{5q} \] Подставим значения: \[ \frac{0,84}{5 \cdot 0,16} = \frac{0,84}{0,8} = 1,05 \] Ответ: в 1,05 раза. Задача 4. Дано: \(p = 0,2\), \(q = 0,8\), \(n = 10\), \(k = 2\). Найти: \( P_{10}(2) \). Решение: По формуле Бернулли: \[ P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^8 \] \[ C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \] \[ P_{10}(2) = 45 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^8 = 45 \cdot 0,04 \cdot 0,16777216 \approx 0,302 \] Ответ: 0,302. Задача 5. Дано: \(p_1 = 0,4\), \(p_2 = p_3 = ... = 0,6\). Найти \(n\), при котором \( P(уничтожения) \ge 0,96 \). Решение: Проще найти вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена за \(n\) выстрелов: \( Q_n = 1 - P_n \). Нам нужно, чтобы \( 1 - Q_n \ge 0,96 \), то есть \( Q_n \le 0,04 \). Вероятность промаха при 1-м выстреле: \( q_1 = 1 - 0,4 = 0,6 \). Вероятность промаха при последующих: \( q_i = 1 - 0,6 = 0,4 \). \[ Q_n = q_1 \cdot (q_2)^{n-1} = 0,6 \cdot (0,4)^{n-1} \] Проверим значения \(n\): При \(n = 1\): \( Q_1 = 0,6 > 0,04 \) При \(n = 2\): \( Q_2 = 0,6 \cdot 0,4 = 0,24 > 0,04 \) При \(n = 3\): \( Q_3 = 0,24 \cdot 0,4 = 0,096 > 0,04 \) При \(n = 4\): \( Q_4 = 0,096 \cdot 0,4 = 0,0384 \le 0,04 \) Условие выполняется при \(n = 4\). Ответ: 4 выстрела.