Решение задач 4-12 по теории вероятности

Ниже представлены решения задач с 4 по 12, оформленные для записи в тетрадь. Задача 4. Всего 21 учащийся, их делят на 3 группы по 7 человек в каждой. Пусть Вадим уже попал в какую-то группу. В этой группе осталось 6 свободных мест. Всего же осталось 20 свободных мест (21 минус Вадим). Вероятность того, что Олег попадет в ту же группу, равна отношению числа оставшихся мест в группе Вадима к общему числу оставшихся мест: \[ P = \frac{6}{20} = 0,3 \] Ответ: 0,3. Задача 5. Вероятность того, что лампа перегорит, равна 0,3. Тогда вероятность того, что лампа не перегорит, равна \( 1 - 0,3 = 0,7 \). Найдем вероятность того, что все три лампы перегорят: \[ P(все) = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027 \] Событие "хотя бы одна не перегорит" является противоположным событию "все перегорят". Его вероятность: \[ P = 1 - 0,027 = 0,973 \] Ответ: 0,973. Задача 6. \[ \sqrt{\frac{6}{4x - 54}} = \frac{1}{7} \] Возведем обе части в квадрат: \[ \frac{6}{4x - 54} = \frac{1}{49} \] По свойству пропорции: \[ 4x - 54 = 6 \cdot 49 \] \[ 4x - 54 = 294 \] \[ 4x = 348 \] \[ x = 87 \] Ответ: 87. Задача 7. Используем формулы синуса и косинуса разности/суммы: \[ \frac{7 \sin(60^\circ - 45^\circ)}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \frac{7(\sin 60^\circ \cos 45^\circ - \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ} \] Подставим табличные значения: \[ \frac{7(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{7(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = 7 \] Ответ: 7. Задача 8. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 1 \] Уравнение касательной \( y = -4x - 8 \), значит \( k = -4 \). \[ 3x^2 - 6x - 1 = -4 \] \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Проверим значение функций в \( x = 1 \): \( f(1) = 1 - 3 - 1 - 9 = -12 \) \( y(1) = -4(1) - 8 = -12 \) Значения совпадают, значит \( x = 1 \) — абсцисса точки касания. Ответ: 1. Задача 9. \[ u = \frac{mv \cos \alpha}{m + M} \geq 0,4 \] \[ \frac{75 \cdot 4 \cdot \cos \alpha}{75 + 300} \geq 0,4 \] \[ \frac{300 \cos \alpha}{375} \geq 0,4 \] \[ 0,8 \cos \alpha \geq 0,4 \] \[ \cos \alpha \geq 0,5 \] Так как угол острый, то \( \alpha \leq 60^\circ \). Наибольший угол равен 60. Ответ: 60. Задача 10. Пусть \( x \) — деталей в час делает второй рабочий, тогда \( x + 3 \) — первый. \[ \frac{130}{x} - \frac{130}{x + 3} = 3 \] \[ 130(x + 3) - 130x = 3x(x + 3) \] \[ 390 = 3x^2 + 9x \] \[ x^2 + 3x - 130 = 0 \] По теореме Виета корни: \( -13 \) (не подходит) и \( 10 \). Второй рабочий делает 10 деталей в час, тогда первый: \( 10 + 3 = 13 \). Ответ: 13. Задача 11. График проходит через точки (0; 2) и (1; 4). 1) \( f(0) = a^0 + b = 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1 \). 2) \( f(1) = a^1 + 1 = 4 \Rightarrow a = 3 \). Функция имеет вид \( f(x) = 3^x + 1 \). Найдем \( x \), при котором \( f(x) = 25 \): \[ 3^x + 1 = 25 \] \[ 3^x = 24 \] Судя по графику, точка (1; 4) и (2; 10) точные. Если \( f(x) = 25 \), то \( 3^x = 24 \), что не дает целого числа. Перепроверим точки: (0; 2) и (-1; 1.33). Если \( b=0 \), то \( a^0=1 \neq 2 \). Если асимптота \( y=1 \), то \( b=1 \). Тогда \( a^1+1=4 \Rightarrow a=3 \). Возможно, в условии опечатка и должно быть \( f(x)=28 \), тогда \( 3^x=27 \Rightarrow x=3 \). Если строго по цифрам: \( x = \log_3 24 \). Но в школьных задачах обычно целые ответы. При \( x=3 \), \( f(3)=3^3+1=28 \). Если на графике точка (2; 9), то \( b=0, a=3 \), тогда \( 3^x=25 \). Скорее всего, \( b=-2 \) (смещение вниз), тогда \( a^0-2=2 \) невозможно. По графику: при \( x=2 \), \( y \approx 10 \). При \( x=3 \), \( y \) будет выше. Если \( f(x)=3^x-2 \), то \( 3^0-2=-1 \) (не совпадает). Вернемся к \( f(x)=3^x+1 \). Если \( f(x)=28 \), ответ 3. Если в условии именно 25, то \( x = \log_3 24 \). Пересмотрев график: точка (2; 10) видна. \( 3^2+1=10 \). Значит \( f(x)=3^x+1 \). Для \( f(x)=25 \), \( 3^x=24 \). Вероятно, в тексте опечатка и \( f(x)=10 \) или \( 28 \). Если нужно число, наиболее близкое к целому по графику, это \( x \approx 2,9 \). Задача 12. \[ y = 5 \cos x - 6x + 4 \] Найдем производную: \[ y' = -5 \sin x - 6 \] Так как \( \sin x \) принимает значения от -1 до 1, то \( -5 \sin x \) от -5 до 5. Следовательно, \( y' = -5 \sin x - 6 \) всегда меньше нуля (\( \leq -1 \)). Функция монотонно убывает на всей числовой прямой. Наименьшее значение на отрезке \( [-\frac{3\pi}{2}; 0] \) достигается в правом конце, то есть в точке \( x = 0 \). \[ y(0) = 5 \cos 0 - 6 \cdot 0 + 4 = 5 \cdot 1 + 4 = 9 \] Ответ: 9.