Решение контрольной работы по теме "Квадратные уравнения" (Вариант 1)

Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» Вариант 1 Задание 1. Определите число корней уравнения: а) \( 9x^2 + 12x - 4 = 0 \) Для определения числа корней найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 + 144 = 288 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет 2 корня. б) \( 2x^2 + 3x - 11 = 0 \) \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет 2 корня. Задание 2. Решите уравнение: а) \( x^2 - 14x + 33 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 14 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 33 \] Методом подбора находим корни: \[ x_1 = 3, x_2 = 11 \] Ответ: 3; 11. б) \( -3x^2 + 10x - 3 = 0 \) Умножим на -1: \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \) \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Ответ: 1/3; 3. Задание 3. Решите уравнение: а) \( x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \) Пусть \( x^2 = t \), где \( t \ge 0 \). \[ t^2 - 10t + 9 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = 1, t_2 = 9 \). Вернемся к замене: 1) \( x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1 \) 2) \( x^2 = 9 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 3 \) Ответ: -3; -1; 1; 3. б) \( \frac{10}{25 - x^2} - \frac{1}{5 + x} - \frac{x}{x - 5} = 0 \) Разложим знаменатель первой дроби: \( 25 - x^2 = (5-x)(5+x) \). Приведем к общему знаменателю \( (5-x)(5+x) \), учитывая, что \( \frac{x}{x-5} = -\frac{x}{5-x} \): \[ \frac{10 - (5 - x) + x(5 + x)}{(5 - x)(5 + x)} = 0 \] ОДЗ: \( x \ne 5, x \ne -5 \). \[ 10 - 5 + x + 5x + x^2 = 0 \] \[ x^2 + 6x + 5 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = -1, x_2 = -5 \). Корень \( x = -5 \) не подходит по ОДЗ. Ответ: -1. Задание 4. При каких значениях параметра \( p \) уравнение \( 4x^2 + px + 9 = 0 \) имеет один корень? Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю: \[ D = p^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0 \] \[ p^2 - 144 = 0 \] \[ p^2 = 144 \] \[ p_1 = 12, p_2 = -12 \] Ответ: при \( p = \pm 12 \).