Решение показательного уравнения: 4^(x+2) - 4^(1+x) = 3√256

Решение показательного уравнения: \[ 4^{x+2} - 4^{1+x} = 3 \sqrt[3]{256} \] 1. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \): \[ 4^x \cdot 4^2 - 4^1 \cdot 4^x = 3 \sqrt[3]{256} \] 2. Вынесем общий множитель \( 4^x \) за скобки: \[ 4^x (4^2 - 4) = 3 \sqrt[3]{256} \] 3. Вычислим значение в скобках: \[ 4^x (16 - 4) = 3 \sqrt[3]{256} \] \[ 4^x \cdot 12 = 3 \sqrt[3]{256} \] 4. Разделим обе части уравнения на 3: \[ 4^x \cdot 4 = \sqrt[3]{256} \] 5. Представим число 256 как степень четверки: \( 256 = 4^4 \). Тогда корень можно записать в виде дробной степени: \[ 4^{x+1} = \sqrt[3]{4^4} \] \[ 4^{x+1} = 4^{\frac{4}{3}} \] 6. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: \[ x + 1 = \frac{4}{3} \] 7. Перенесем единицу в правую часть: \[ x = \frac{4}{3} - 1 \] \[ x = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} \] \[ x = \frac{1}{3} \] Ответ: \( x = \frac{1}{3} \)