Решение задачи: Параллельность прямых

Задача 1. Для решения воспользуемся признаками параллельности прямых при пересечении их секущей. 1) Дано: \( \angle 1 = \angle 3 \). Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( a \), \( b \) и секущей \( d \). Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( a \) и \( b \) параллельны. Ответ: Да. 2) Дано: \( \angle 1 = \angle 4 \). Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — вертикальные, значит \( \angle 3 = \angle 4 \). Если \( \angle 1 = \angle 4 \), то \( \angle 1 = \angle 3 \). Это накрест лежащие углы, следовательно, прямые параллельны. Ответ: Да. 3) Дано: \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \). Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются односторонними при прямых \( a \), \( b \) и секущей \( d \). Так как сумма односторонних углов равна \( 180^\circ \), то прямые параллельны. Ответ: Да. 4) Дано: \( \angle 5 = \angle 6 = 90^\circ \). Углы \( \angle 5 \) и \( \angle 6 \) являются соответственными при прямых \( a \), \( b \) и секущей \( c \). Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны. (Также можно сказать, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны). Ответ: Да. Задача 2. Дано: \( \triangle ABC = \triangle CDE \), \( BC = DE \). Доказать: \( AB \parallel CD \). Доказательство: 1. Из равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle CDE \) следует равенство их соответствующих элементов (сторон и углов). 2. Нам известно, что \( BC = DE \). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, углы, лежащие против этих сторон, равны: \[ \angle BAC = \angle DCE \] 3. Рассмотрим прямые \( AB \) и \( CD \) и секущую \( AE \). Углы \( \angle BAC \) и \( \angle DCE \) являются соответственными для этих прямых. 4. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 5. Так как \( \angle BAC = \angle DCE \), то \( AB \parallel CD \). Что и требовалось доказать.