Решение дробно-рационального уравнения: пошаговый пример

Решение дробно-рационального уравнения для записи в тетрадь: Дано уравнение: \[ \frac{x - 5}{x + 8} - \frac{x - 3}{x + 6} = 0 \] 1. Укажем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: \[ x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8 \] \[ x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6 \] 2. Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения: \[ \frac{x - 5}{x + 8} = \frac{x - 3}{x + 6} \] 3. Воспользуемся основным свойством пропорции (перемножим крест-накрест): \[ (x - 5)(x + 6) = (x - 3)(x + 8) \] 4. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: \[ x^2 + 6x - 5x - 30 = x^2 + 8x - 3x - 24 \] \[ x^2 + x - 30 = x^2 + 5x - 24 \] 5. Перенесем все слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа — в правую. При этом \( x^2 \) в обеих частях взаимно уничтожаются: \[ x - 5x = -24 + 30 \] \[ -4x = 6 \] 6. Найдем значение \( x \): \[ x = \frac{6}{-4} \] \[ x = -1,5 \] 7. Проверим корень по ОДЗ: число -1,5 не равно -8 и не равно -6. Значит, корень подходит. Ответ: -1,5.