Решение дробно-рационального уравнения

Решение дробно-рационального уравнения для записи в тетрадь: Дано уравнение: \[ \frac{2}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{4 - x}{x^2 + 2x} \] 1. Разложим знаменатели на множители: \[ \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{4 - x}{x(x + 2)} \] 2. Укажем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны обращаться в нуль: \[ x \neq 0, \quad x \neq 2, \quad x \neq -2 \] 3. Приведем дроби к общему знаменателю \( x(x - 2)(x + 2) \). Для этого домножим числители на недостающие множители: \[ \frac{2 \cdot x}{x(x - 2)(x + 2)} - \frac{1 \cdot (x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{(4 - x) \cdot (x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} \] 4. Приравняем числители: \[ 2x - (x + 2) = (4 - x)(x - 2) \] 5. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 2x - x - 2 = 4x - 8 - x^2 + 2x \] \[ x - 2 = -x^2 + 6x - 8 \] 6. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 6x - 2 + 8 = 0 \] \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] 7. Решим уравнение по теореме Виета или через дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \] 8. Проверим корни по ОДЗ: Корень \( x = 3 \) — подходит. Корень \( x = 2 \) — не подходит, так как при этом значении знаменатель первой и второй дроби обращается в нуль. Ответ: 3.