Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Задание 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения. Для решения используем теорему Виета. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), а произведение \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). а) \(x^2 - 53x + 15 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = 53\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = 15\) б) \(2x^2 + 43x - 9 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = -\frac{43}{2} = -21,5\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{9}{2} = -4,5\) в) \(x^2 + 71x = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = -71\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = 0\) г) \(4x^2 - 35 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = 0\) (так как \(b = 0\)) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{35}{4} = -8,75\) Задание 2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. а) \(x^2 - 2x - 15 = 0\) Находим дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}\] \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\) Проверка: \(x_1 + x_2 = 5 + (-3) = 2\) (верно, так как \(-b = 2\)) \(x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-3) = -15\) (верно, так как \(c = -15\)) б) \(3x^2 + 11x - 4 = 0\) \[D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169\] \[x = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 13}{6}\] \(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{-24}{6} = -4\) Проверка: \(x_1 + x_2 = \frac{1}{3} - 4 = \frac{1-12}{3} = -\frac{11}{3}\) (верно, так как \(-\frac{b}{a} = -\frac{11}{3}\)) \(x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{3} \cdot (-4) = -\frac{4}{3}\) (верно, так как \(\frac{c}{a} = -\frac{4}{3}\)) Задание 3. Найдите подбором корни уравнения. а) \(x^2 - 9x + 14 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 9\) \(x_1 \cdot x_2 = 14\) Подбираем множители числа 14, сумма которых равна 9. Это 2 и 7. Ответ: \(x_1 = 2, x_2 = 7\) б) \(x^2 + x - 12 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -1\) \(x_1 \cdot x_2 = -12\) Подбираем множители числа -12, сумма которых равна -1. Это -4 и 3. Ответ: \(x_1 = -4, x_2 = 3\)