Решение задачи №104: Угловое ускорение и время торможения

Задача №104 Дано: \(n_1 = 10 \, \text{с}^{-1}\) \(N = 21\) \(n_2 = 4 \, \text{с}^{-1}\) Найти: \(\varepsilon\) — ? \(t\) — ? Решение: 1. Переведем частоту вращения в начальную и конечную угловые скорости по формуле \(\omega = 2\pi n\): \[\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \cdot 10 = 20\pi \, \text{рад/с}\] \[\omega_2 = 2\pi n_2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \, \text{рад/с}\] 2. Найдем угол поворота тела \(\varphi\) через количество совершенных оборотов \(N\): \[\varphi = 2\pi N = 2\pi \cdot 21 = 42\pi \, \text{рад}\] 3. Для равнозамедленного вращательного движения справедлива формула, связывающая угловые скорости, ускорение и угол поворота (аналог формулы для линейного движения без времени): \[\omega_2^2 - \omega_1^2 = 2\varepsilon \varphi\] Отсюда выразим угловое ускорение \(\varepsilon\): \[\varepsilon = \frac{\omega_2^2 - \omega_1^2}{2\varphi}\] Подставим значения: \[\varepsilon = \frac{(8\pi)^2 - (20\pi)^2}{2 \cdot 42\pi} = \frac{64\pi^2 - 400\pi^2}{84\pi} = \frac{-336\pi^2}{84\pi} = -4\pi \, \text{рад/с}^2\] Знак «минус» указывает на то, что вращение замедленное. Модуль углового ускорения равен \(4\pi \approx 12,57 \, \text{рад/с}^2\). 4. Найдем время \(t\), в течение которого произошло изменение скорости, используя формулу: \[\omega_2 = \omega_1 + \varepsilon t\] Отсюда: \[t = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\varepsilon}\] Подставим значения: \[t = \frac{8\pi - 20\pi}{-4\pi} = \frac{-12\pi}{-4\pi} = 3 \, \text{с}\] Ответ: \(\varepsilon = -4\pi \, \text{рад/с}^2\) (или \(12,57 \, \text{рад/с}^2\) по модулю); \(t = 3 \, \text{с}\).