Решение уравнения методом замены переменной

Решение уравнения методом замены переменной для записи в тетрадь: Дано уравнение: \[ (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0 \] 1. Заметим, что в обеих скобках повторяется выражение \( x^2 + 3x \). Введем замену переменной: Пусть \( x^2 + 3x = t \). 2. Перепишем уравнение относительно \( t \): \[ (t + 1)(t + 3) + 1 = 0 \] 3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ t^2 + 3t + t + 3 + 1 = 0 \] \[ t^2 + 4t + 4 = 0 \] 4. Заметим, что полученное выражение является квадратом суммы: \[ (t + 2)^2 = 0 \] Отсюда следует: \[ t + 2 = 0 \] \[ t = -2 \] 5. Вернемся к замене и найдем \( x \): \[ x^2 + 3x = -2 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ \sqrt{D} = 1 \] 7. Вычислим корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Ответ: -2, -1.