Решение задачи: Сокращение дроби и область определения

Задание 1. Сокращение дроби. Дана дробь: \[ \frac{25x - 5}{25x^2 - 10x + 1} \] Решение: 1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель 5 за скобки: \[ 25x - 5 = 5(5x - 1) \] 2. Разложим знаменатель на множители. Заметим, что выражение в знаменателе представляет собой квадрат разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = 5x \), а \( b = 1 \): \[ 25x^2 - 10x + 1 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = (5x - 1)^2 \] 3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим её на \( (5x - 1) \): \[ \frac{5(5x - 1)}{(5x - 1)^2} = \frac{5}{5x - 1} \] Ответ: Третий вариант \( \frac{5}{5x - 1} \). Задание 2. Область определения дроби. Вопрос: При каком значении \( x \) дробь \( \frac{x - 4}{3x - 9} \) не имеет смысла? Решение: Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Составим и решим уравнение: \[ 3x - 9 = 0 \] \[ 3x = 9 \] \[ x = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \] Ответ: Дробь не имеет смысла при \( x = 3 \).