Решение задачи: определение начальной скорости пули

Дано: \(m = 7,8 \text{ г} = 0,0078 \text{ кг}\) \(M = 0,78 \text{ кг}\) \(l = 2 \text{ м}\) \(\alpha = 60^{\circ}\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(v_0\) — ? Выбор утверждений: 1. Попадание пули в шар можно считать абсолютно неупругим соударением. (Верно, так как пуля застревает в шаре). 2. Шар с застрявшей в нем пулей, отклоняясь от положения равновесия, будет двигаться с сохранением полной механической энергии. (Верно, так как силой сопротивления воздуха мы пренебрегаем). Решение: 1. Рассмотрим процесс взаимодействия пули и шара. Согласно закону сохранения импульса для абсолютно неупругого удара: \[m v_0 = (M + m) u\] где \(u\) — скорость шара с пулей сразу после удара. Отсюда: \[u = \frac{m v_0}{M + m}\] 2. После удара система отклоняется на угол \(\alpha\). По закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия системы в нижней точке переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте \(h\): \[\frac{(M + m) u^2}{2} = (M + m) g h\] Откуда: \[u^2 = 2 g h\] 3. Высоту подъема \(h\) выразим через длину нити \(l\) и угол отклонения \(\alpha\): \[h = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha)\] Подставим значение \(h\) в формулу для скорости \(u\): \[u = \sqrt{2 g l (1 - \cos \alpha)}\] 4. Приравняем выражения для \(u\) из пунктов 1 и 3: \[\frac{m v_0}{M + m} = \sqrt{2 g l (1 - \cos \alpha)}\] Выразим искомую скорость пули \(v_0\): \[v_0 = \frac{M + m}{m} \sqrt{2 g l (1 - \cos \alpha)}\] 5. Подставим числовые значения: \[v_0 = \frac{0,78 + 0,0078}{0,0078} \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot (1 - \cos 60^{\circ})}\] Так как \(\cos 60^{\circ} = 0,5\): \[v_0 = \frac{0,7878}{0,0078} \sqrt{40 \cdot (1 - 0,5)}\] \[v_0 = 101 \cdot \sqrt{40 \cdot 0,5} = 101 \cdot \sqrt{20}\] \[\sqrt{20} \approx 4,472\] \[v_0 \approx 101 \cdot 4,472 \approx 451,67 \text{ м/с}\] Округляем до целых: \(v_0 \approx 452 \text{ м/с}\). Ответ: 452.