Решение задачи: Параллельные прямые и секущая

Задача 1. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая. А) Найти \(\angle 2\), если \(\angle 7 = 110^{\circ}\). Решение: \(\angle 7 = \angle 3\) (как соответственные при \(a \parallel b\)). \(\angle 3 = \angle 2\) (как вертикальные). Следовательно, \(\angle 2 = \angle 7 = 110^{\circ}\). Ответ: \(110^{\circ}\). Б) Найти \(\angle 3\), если \(\angle 6\) на \(20^{\circ}\) больше, чем \(\angle 3\). Решение: \(\angle 3 + \angle 6 = 180^{\circ}\) (как односторонние при \(a \parallel b\)). Пусть \(\angle 3 = x\), тогда \(\angle 6 = x + 20^{\circ}\). \[x + x + 20^{\circ} = 180^{\circ}\] \[2x = 160^{\circ}\] \[x = 80^{\circ}\] Ответ: \(80^{\circ}\). В) Найти \(\angle 5\), если \(\angle 5 + \angle 1 = 230^{\circ}\). Решение: \(\angle 1 = \angle 5\) (как соответственные при \(a \parallel b\)). \[\angle 5 + \angle 5 = 230^{\circ}\] \[2 \cdot \angle 5 = 230^{\circ}\] \[\angle 5 = 115^{\circ}\] Ответ: \(115^{\circ}\). Г) Найти \(\angle 8\), если \(\angle 1\) в два раза больше \(\angle 8\). Решение: \(\angle 1 = \angle 4\) (вертикальные), \(\angle 4 + \angle 8 = 180^{\circ}\) (односторонние). Значит, \(\angle 1 + \angle 8 = 180^{\circ}\). Пусть \(\angle 8 = x\), тогда \(\angle 1 = 2x\). \[2x + x = 180^{\circ}\] \[3x = 180^{\circ}\] \[x = 60^{\circ}\] Ответ: \(60^{\circ}\). Д) Найти \(\angle 4\), если \(\angle 3 + \angle 4 + \angle 6 = 210^{\circ}\). Решение: \(\angle 3 + \angle 6 = 180^{\circ}\) (односторонние). \[180^{\circ} + \angle 4 = 210^{\circ}\] \[\angle 4 = 210^{\circ} - 180^{\circ} = 30^{\circ}\] Ответ: \(30^{\circ}\). Е) Найти \(\angle 3 + \angle 4 + \angle 5\), если \(\angle 4 = 40^{\circ}\). Решение: \(\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}\) (смежные). \(\angle 5 = \angle 4 = 40^{\circ}\) (накрест лежащие). \[(\angle 3 + \angle 4) + \angle 5 = 180^{\circ} + 40^{\circ} = 220^{\circ}\] Ответ: \(220^{\circ}\). Задача 2. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая, \(\angle 4 + \angle 6 = 78^{\circ}\). Найти: все углы. Решение: 1) \(\angle 4 = \angle 6\) (как накрест лежащие при \(a \parallel b\)). \[\angle 4 = \angle 6 = 78^{\circ} : 2 = 39^{\circ}\] 2) \(\angle 2 = \angle 4 = 39^{\circ}\) (вертикальные). 3) \(\angle 8 = \angle 6 = 39^{\circ}\) (вертикальные). 4) \(\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 4 = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}\) (смежные). 5) \(\angle 1 = \angle 3 = 141^{\circ}\) (вертикальные). 6) \(\angle 5 = \angle 3 = 141^{\circ}\) (накрест лежащие). 7) \(\angle 7 = \angle 5 = 141^{\circ}\) (вертикальные). Ответ: \(\angle 2 = \angle 4 = \angle 6 = \angle 8 = 39^{\circ}\); \(\angle 1 = \angle 3 = \angle 5 = \angle 7 = 141^{\circ}\).