Решение: Контрольная работа №3. Вариант 2. Квадратные уравнения

Контрольная работа №3. Вариант 2. Квадратные уравнения. Квадратный трехчлен. Задание 1. Определи, имеет ли корни уравнение \(3x^2 - 6x + 3 = 0\) и если имеет, то сколько. Решение: Для определения количества корней найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\). В данном уравнении \(a = 3, b = -6, c = 3\). \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0\] Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень. Ответ: 1 корень. Задание 2. Реши уравнения: а) \(7x^2 - 42x = 0\) Вынесем общий множитель за скобки: \(7x(x - 6) = 0\) \(7x = 0\) или \(x - 6 = 0\) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 6\) Ответ: 0; 6. б) \(-3x^2 + 15 = 0\) \(-3x^2 = -15\) Разделим на -3: \(x^2 = 5\) \(x = \pm \sqrt{5}\) Ответ: \(\pm \sqrt{5}\). в) \(2x^2 + 5x - 12 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121\] \[\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5\] \[x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4\] Ответ: -4; 1,5. г) \(x^2 + x = 3x + 15\) Перенесем всё в левую часть: \(x^2 + x - 3x - 15 = 0\) \(x^2 - 2x - 15 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\) \(x_1 \cdot x_2 = -15\) Подбором находим: \(x_1 = 5, x_2 = -3\). Ответ: -3; 5. Задание 3. Разложи на множители многочлен: \(b^2 - 5b - 14\). Решение: Найдем корни уравнения \(b^2 - 5b - 14 = 0\). По теореме Виета: \(b_1 + b_2 = 5\) \(b_1 \cdot b_2 = -14\) Корни: \(b_1 = 7, b_2 = -2\). Используем формулу \(a(b - b_1)(b - b_2)\): \(b^2 - 5b - 14 = (b - 7)(b + 2)\). Ответ: \((b - 7)(b + 2)\). Задание 4. Площадь \(S = 480\) м², одна сторона на 4 м меньше другой. Найти периметр. Решение: Пусть \(x\) м — одна сторона, тогда \((x - 4)\) м — другая сторона. Составим уравнение площади: \(x(x - 4) = 480\) \(x^2 - 4x - 480 = 0\) \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936\] \[\sqrt{D} = 44\] \[x_1 = \frac{4 + 44}{2} = 24\] \[x_2 = \frac{4 - 44}{2} = -20\] (не подходит по смыслу задачи) Стороны площадки: 24 м и \(24 - 4 = 20\) м. Найдем периметр (длину ограждения): \[P = 2 \cdot (24 + 20) = 2 \cdot 44 = 88\] м. Ответ: 88 метров. Задание 5. Сократи дробь: \(\frac{z^2 - 36}{z^2 - z - 30}\). Решение: 1) Числитель: \(z^2 - 36 = (z - 6)(z + 6)\). 2) Знаменатель: \(z^2 - z - 30 = 0\). По теореме Виета корни 6 и -5. \(z^2 - z - 30 = (z - 6)(z + 5)\). 3) Сокращаем: \[\frac{(z - 6)(z + 6)}{(z - 6)(z + 5)} = \frac{z + 6}{z + 5}\] Ответ: \(\frac{z + 6}{z + 5}\). Задание 6. Реши уравнение: \(x^4 + 3x^2 - 28 = 0\). Решение: Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). \(t^2 + 3t - 28 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = -7, t_2 = 4\). Так как \(t \ge 0\), подходит только \(t = 4\). Обратная замена: \(x^2 = 4\) \(x = \pm 2\) Ответ: -2; 2.