Решение задачи по геометрии: касательные к окружности

Ниже представлены решения задач по геометрии, оформленные для записи в тетрадь. Задача 16 (верхняя) Дано: Касательные в точках \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(P\) (обозначим точку пересечения вне окружности как \(P\)) под углом \(72^{\circ}\). \(O\) — центр окружности. Найти: \(\angle ABO\). Решение: 1. Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны касательным в точках касания, следовательно, \(\angle OAP = 90^{\circ}\) и \(\angle OBP = 90^{\circ}\). 2. В четырехугольнике \(OAPB\) сумма углов равна \(360^{\circ}\). Тогда центральный угол: \[ \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \] 3. Треугольник \(AOB\) — равнобедренный, так как \(OA = OB\) (радиусы). 4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[ \angle ABO = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \] Ответ: \(36^{\circ}\). Задача 15 Дано: \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). \(AN = 33\), \(CM = 15\). \(O\) — точка пересечения медиан. Найти: \(ON\). Решение: 1. Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, то \(AN\) и \(CM\) — медианы треугольника \(ABC\). 2. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(2:1\), считая от вершины. 3. Для медианы \(AN\) это означает, что: \[ AO : ON = 2 : 1 \] 4. Следовательно, отрезок \(ON\) составляет \(\frac{1}{3}\) часть всей медианы \(AN\): \[ ON = \frac{1}{3} \cdot AN = \frac{1}{3} \cdot 33 = 11 \] Ответ: \(11\). Задача 16 (нижняя) Дано: Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность. \(AD \parallel BC\), \(\angle A = 35^{\circ}\). Найти: \(\angle B\). Решение: 1. Если трапеция вписана в окружность, то она обязательно является равнобедренной. Следовательно, \(AB = CD\) и углы при основаниях равны. 2. Углы при нижнем основании: \(\angle D = \angle A = 35^{\circ}\). 3. Так как основания трапеции параллельны (\(AD \parallel BC\)), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^{\circ}\): \[ \angle A + \angle B = 180^{\circ} \] 4. Находим угол \(B\): \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ} \] Ответ: \(145^{\circ}\).