Решение задачи №190: Доказательство параллельности DE и AC

Задача №190 Дано: \(AB = BC\), \(AD = DE\), \(\angle C = 70^\circ\), \(\angle EAC = 35^\circ\). Доказать: \(DE \parallel AC\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). По условию \(AB = BC\), значит, треугольник \(ABC\) — равнобедренный с основанием \(AC\). По свойству углов при основании равнобедренного треугольника: \[\angle BAC = \angle C = 70^\circ\] 2. Найдем угол \(DAE\). Из рисунка видно, что: \[\angle DAE = \angle BAC - \angle EAC\] Подставим известные значения: \[\angle DAE = 70^\circ - 35^\circ = 35^\circ\] 3. Рассмотрим треугольник \(ADE\). По условию \(AD = DE\), следовательно, треугольник \(ADE\) — равнобедренный с основанием \(AE\). По свойству углов при основании равнобедренного треугольника: \[\angle AED = \angle DAE = 35^\circ\] 4. Теперь сравним углы \(\angle AED\) и \(\angle EAC\): \[\angle AED = 35^\circ\] \[\angle EAC = 35^\circ\] Следовательно, \(\angle AED = \angle EAC\). 5. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых \(DE\) и \(AC\) секущей \(AE\). По признаку параллельности прямых (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны): \[DE \parallel AC\] Что и требовалось доказать.