Графическое решение систем уравнений: окружность и прямая/парабола

Графическое решение систем уравнений Для решения этих задач нужно понимать, что уравнение \( x^2 + y^2 = 16 \) описывает окружность с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{16} = 4 \). Количество решений системы — это количество точек пересечения графиков. 1) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = x - 2 \end{cases} \] Первое уравнение — окружность радиуса 4. Второе уравнение — прямая, проходящая через точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \). Эти точки лежат внутри окружности, значит, прямая пересекает окружность в двух точках. Ответ: 2 решения. 2) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = x^2 - 5 \end{cases} \] Первое уравнение — окружность радиуса 4. Второе уравнение — парабола с вершиной в точке \( (0; -5) \), ветви которой направлены вверх. Точка \( (0; -5) \) находится ниже окружности (так как \( -5 < -4 \)). При движении вверх ветви параболы пересекут нижнюю часть окружности в двух точках и верхнюю часть окружности еще в двух точках. Ответ: 4 решения. 3) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 4 \end{cases} \] Первое уравнение — окружность радиуса 4. Второе уравнение — горизонтальная прямая, проходящая через верхнюю точку окружности \( (0; 4) \). Прямая является касательной к окружности. Ответ: 1 решение. 4) Система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = -8 \end{cases} \] Первое уравнение — окружность радиуса 4. Это значит, что значения \( y \) на окружности ограничены интервалом от \( -4 \) до \( 4 \). Второе уравнение — горизонтальная прямая \( y = -8 \), которая проходит значительно ниже окружности. Общих точек нет. Ответ: нет решений.