Решение системы рациональных уравнений

Системы рациональных уравнений Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} (x + y)^2 - 8(x + y) = -16 \\ 2x - 3y = -22 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение. Введем замену \( t = x + y \): \[ t^2 - 8t + 16 = 0 \] Это выражение является полным квадратом: \[ (t - 4)^2 = 0 \] Отсюда \( t = 4 \). 2. Вернемся к переменным \( x \) и \( y \). Теперь наша система выглядит так: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - 3y = -22 \end{cases} \] 3. Решим полученную линейную систему методом подстановки. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 4 - x \] 4. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 2x - 3(4 - x) = -22 \] \[ 2x - 12 + 3x = -22 \] \[ 5x = -22 + 12 \] \[ 5x = -10 \] \[ x = -2 \] 5. Найдем значение \( y \): \[ y = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \] Проверка: Первое уравнение: \( (-2 + 6)^2 - 8(-2 + 6) = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16 \) (верно). Второе уравнение: \( 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 6 = -4 - 18 = -22 \) (верно). Ответы на вопросы: Сколько решений имеет система уравнений? 1 Впишите наименьшее значение \( x \) и соответствующее ему значение \( y \): Так как решение всего одно, оно же является и наименьшим, и наибольшим. \( (-2; 6) \)