Задача №2: Расстояние между параллельными плоскостями

Задача №2 Дано: Две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Отрезки \(AB\) и \(CD\) такие, что их концы лежат на этих плоскостях. \(AB = 5\) см, \(CD = \sqrt{41}\) см. Проекция первого отрезка на плоскость равна длине второго отрезка: \(A_1B_1 = CD\) (или наоборот, так как в условии сказано "длина одного равна проекции другого"). Найти: расстояние \(h\) между плоскостями. Решение: Расстояние между параллельными плоскостями — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной плоскости на другую. Обозначим это расстояние как \(h\). Для любого отрезка, концы которого лежат на параллельных плоскостях, справедливо соотношение по теореме Пифагора: \[L^2 = d^2 + h^2\] где \(L\) — длина отрезка, \(d\) — длина его проекции на плоскость, \(h\) — расстояние между плоскостями. Пусть \(d_1\) — проекция отрезка \(AB\), а \(d_2\) — проекция отрезка \(CD\). Тогда имеем систему уравнений: 1) \(AB^2 = d_1^2 + h^2\) 2) \(CD^2 = d_2^2 + h^2\) Согласно условию, длина одного из отрезков равна длине проекции другого. Рассмотрим случай, когда \(AB = d_2\). Подставим значения: \(AB = 5\) \(CD = \sqrt{41}\) \(d_2 = 5\) Используем второе уравнение: \[(\sqrt{41})^2 = 5^2 + h^2\] \[41 = 25 + h^2\] \[h^2 = 41 - 25\] \[h^2 = 16\] \[h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}\] Если рассмотреть случай \(CD = d_1\), то: \[5^2 = (\sqrt{41})^2 + h^2\] \[25 = 41 + h^2\] \[h^2 = 25 - 41 = -16\] Данный случай невозможен, так как квадрат расстояния не может быть отрицательным (наклонная всегда длиннее своей проекции). Ответ: расстояние между плоскостями равно 4 см.