Решение задач на площадь треугольника

Задачи по теме «Площадь» Задача 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота. Для первого рисунка: основание \( a = 6 \), высота \( h = 3 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \] Для второго рисунка: основание \( a = 6 \), высота \( h = 3 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \] Для третьего рисунка: основание \( a = 6 \), высота \( h = 4 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \] Задача 2. Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника. Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 19 = 12 \cdot 19 = 228 \] Ответ: 228. Задача 2.1. Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника. Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 17 = 9 \cdot 17 = 153 \] Ответ: 153. Задача 3. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD. Решение: Треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, проведённую из вершины B к прямой AC. Основание \( AC = AD + DC = 3 + 7 = 10 \). Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований: \[ \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} \] \[ S_{BCD} = S_{ABC} \cdot \frac{DC}{AC} = 20 \cdot \frac{7}{10} = 14 \] Ответ: 14. Задача 4. Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27 \] Ответ: 27. Задача 5. В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, \( \sin \angle ABC = \frac{1}{3} \). Найдите площадь треугольника ABC. (Примечание: в тексте опечатка "13", вероятно имеется в виду дробь или значение синуса). Если \( \sin \angle ABC = 1/3 \): Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 10 \] Ответ: 10. Задача 6. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=18, MN=8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN. Решение: Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам (угол B общий, углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия \( k = \frac{MN}{AC} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left( \frac{4}{9} \right)^2 = \frac{16}{81} \] \[ S_{MBN} = S_{ABC} \cdot \frac{16}{81} = 81 \cdot \frac{16}{81} = 16 \] Ответ: 16.