Радиус вписанной окружности в квадрат: Решение задач

Задание №1 Дано: Квадрат. Радиус описанной окружности \( R = 7 \). Найти: Радиус вписанной окружности \( r \). Решение: Для квадрата формулы радиусов выражаются через сторону \( a \) следующим образом: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] \[ r = \frac{a}{2} \] Из первой формулы выразим сторону \( a \): \[ a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \] Подставим это выражение в формулу для \( r \): \[ r = \frac{R\sqrt{2}}{2} \] Подставим значение \( R = 7 \): \[ r = \frac{7\sqrt{2}}{2} = 3,5\sqrt{2} \] Ответ: \( r = 3,5\sqrt{2} \) Задание №2 Дано: Квадрат со стороной \( a = 9 \). В квадрат вписана окружность. Найти: Радиус вписанной окружности \( r \). Решение: Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны: \[ r = \frac{a}{2} \] Подставим значение стороны: \[ r = \frac{9}{2} = 4,5 \] Ответ: \( r = 4,5 \) Задание №3 Дано: Правильный треугольник. \( R \) — радиус описанной окружности. \( r \) — радиус вписанной окружности. Найти: Отношение \( \frac{R}{r} \). Решение: Для правильного треугольника со стороной \( a \) известны формулы: \[ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Найдем их отношение: \[ \frac{R}{r} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6}{a\sqrt{3}} = \frac{6}{3} = 2 \] Ответ: \( \frac{R}{r} = 2 \) Задание №4 Дано: В одну и ту же окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат. Сторона шестиугольника \( a_6 = 7 \). Найти: Сторону квадрата \( a_4 \). Решение: 1. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности: \[ R = a_6 = 7 \] 2. Сторона квадрата выражается через радиус описанной окружности по формуле: \[ a_4 = R\sqrt{2} \] 3. Подставим значение \( R \): \[ a_4 = 7\sqrt{2} \] Ответ: \( a_4 = 7\sqrt{2} \)