Решение задачи линейной алгебры, вариант 28

Типовой расчет «Линейная алгебра» 28 вариант Задание 1. Выполнить действия: \( 5C^T A - 2B + 3E \). Даны матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 9 \\ 7 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 7 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix} \] Решение: 1) Найдем транспонированную матрицу \( C^T \): \[ C^T = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 7 & -2 \end{pmatrix} \] 2) Вычислим \( 5C^T \): \[ 5C^T = \begin{pmatrix} -20 & 0 & 0 \\ 5 & 15 & 25 \\ 10 & 35 & -10 \end{pmatrix} \] 3) Вычислим произведение \( (5C^T) \cdot A \): \[ (5C^T)A = \begin{pmatrix} -20 & 0 & 0 \\ 5 & 15 & 25 \\ 10 & 35 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 5 & 9 \\ 7 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 & -100 & -180 \\ 115 & 70 & 145 \\ 205 & -50 & 50 \end{pmatrix} \] 4) Вычислим \( 2B \): \[ 2B = \begin{pmatrix} 14 & 12 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 10 & 6 & 2 \end{pmatrix} \] 5) Вычислим \( 3E \), где \( E \) — единичная матрица: \[ 3E = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] 6) Итоговое выражение: \[ 5C^T A - 2B + 3E = \begin{pmatrix} 60-14+3 & -100-12+0 & -180-0+0 \\ 115-2+0 & 70-4+3 & 145-0+0 \\ 205-10+0 & -50-6+0 & 50-2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 & -112 & -180 \\ 113 & 69 & 145 \\ 195 & -56 & 51 \end{pmatrix} \] Задание 2. Найти определители. 1) \( |A| \) для \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \): \[ |A| = 3 \cdot 1 - 5 \cdot 4 = 3 - 20 = -17 \] 2) \( |B^T| \) путем сведения к треугольному виду для \( B = \begin{pmatrix} 7 & 2 & -3 \\ 1 & 5 & -4 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \). Так как \( |B^T| = |B| \), вычислим \( |B| \): Поменяем 1-ю и 2-ю строки (знак определителя меняется): \[ |B| = - \begin{vmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 0 & -33 & 25 \\ 0 & -9 & 8 \end{vmatrix} = - ((-33) \cdot 8 - 25 \cdot (-9)) = -(-264 + 225) = 39 \] 3) \( |C| \) разложением по 2-му столбцу для \( C = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 9 & 3 & 7 \end{pmatrix} \): \[ |C| = a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} = 1 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 7 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 9 & 7 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \] \[ |C| = -1(14 - 36) - 1(35 - 27) - 3(20 - 6) = 22 - 8 - 42 = -28 \] Задание 3. Найти обратную матрицу \( A^{-1} \) для \( A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 5 & 7 & -1 \\ 1 & 2 & -8 \end{pmatrix} \). 1) Определитель \( |A| \): \[ |A| = 3(-56 + 2) - 4(-40 + 1) + 2(10 - 7) = 3(-54) - 4(-39) + 2(3) = -162 + 156 + 6 = 0 \] Так как \( |A| = 0 \), матрица является вырожденной, и обратной матрицы \( A^{-1} \) не существует. Задание 4. Решить систему уравнений. \[ \begin{cases} 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 6x_2 + 3x_3 = -3 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \end{cases} \] Метод Гаусса: Запишем расширенную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & | & 6 \\ 1 & 6 & 3 & | & -3 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \] Вычтем из 3-й строки 1-ю: \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & | & 6 \\ 1 & 6 & 3 & | & -3 \\ 0 & 5 & 0 & | & -6 \end{pmatrix} \] Из 3-й строки: \( 5x_2 = -6 \Rightarrow x_2 = -1.2 \). Подставим во 2-е и 1-е уравнения и найдем \( x_1, x_3 \). Из 2-й строки: \( x_1 + 6(-1.2) + 3x_3 = -3 \Rightarrow x_1 + 3x_3 = 4.2 \). Из 1-й строки: \( 2x_1 - 2(-1.2) + x_3 = 6 \Rightarrow 2x_1 + x_3 = 3.6 \). Решая систему: \( x_1 = 1.32, x_3 = 0.96 \).