Решение задач 15 и 16 Вариант 24

Ниже представлены решения задач из Варианта 24, оформленные для записи в тетрадь. Задача 15 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \). \( M \) — середина \( AB \). \( AB = 42 \), \( BC = 30 \). Найти: \( CM \). Решение: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. Так как \( M \) — середина гипотенузы \( AB \), то \( CM \) — медиана. \[ CM = \frac{1}{2} AB \] \[ CM = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21 \] Ответ: 21. Задача 16 Дано: Четырехугольник \( ABCD \) вписан в окружность. \( AB \cap CD = K \). \( BK = 6 \), \( DK = 10 \), \( BC = 12 \). Найти: \( AD \). Решение: Рассмотрим треугольники \( KBC \) и \( KDA \). У них \( \angle K \) — общий. Так как \( ABCD \) вписан в окружность, сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \), то есть \( \angle BCD + \angle BAD = 180^\circ \). Углы \( \angle BCD \) и \( \angle BCK \) — смежные, их сумма \( 180^\circ \). Следовательно, \( \angle KBC = \angle KDA \) и \( \angle KCB = \angle KAD \). Треугольники \( KBC \) и \( KDA \) подобны по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \] \[ \frac{12}{AD} = \frac{6}{10} \] \[ AD = \frac{12 \cdot 10}{6} = 2 \cdot 10 = 20 \] Ответ: 20. Задача 17 Дано: Трапеция \( ABCD \) — равнобедренная. Сумма двух углов равна \( 50^\circ \). Найти: больший угол. Решение: В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, всегда равна \( 180^\circ \). Значит, сумма \( 50^\circ \) может относиться только к двум равным острым углам при нижнем основании. Пусть \( \alpha \) — острый угол. \[ 2\alpha = 50^\circ \Rightarrow \alpha = 25^\circ \] Больший угол \( \beta \) (тупой) находится как: \[ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ \] Ответ: 155. Задача 18 Дано: Клетчатая бумага \( 1 \times 1 \). Треугольник \( ABC \). Найти: длину средней линии, параллельной \( AC \). Решение: Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. По рисунку считаем длину стороны \( AC \) по клеткам: \( AC = 8 \) клеток. Длина средней линии \( L \): \[ L = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] Ответ: 4. Задача 19 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Неверно, это признак подобия, а не равенства). 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Верно, это аксиома параллельных прямых). 3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. (Верно по определению окружности). В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов и запятых. Ответ: 23.