Решение задач: Импульс тела и закон сохранения импульса

Домашняя работа — подготовка к к.р. 2 Задача 1 Дано: \(m = 1,25 \text{ т} = 1250 \text{ кг}\) \(v = 54 \text{ км/ч} = \frac{54}{3,6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}\) Найти: \(p\) — ? Решение: Импульс тела определяется по формуле: \[p = m \cdot v\] Подставим значения: \[p = 1250 \cdot 15 = 18750 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\] Ответ: \(18750 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\). Задача 2 Дано: \(m_1 = 150 \text{ т} = 150000 \text{ кг}\) \(v_1 = 2,0 \text{ м/с}\) \(m_2 = 60 \text{ т} = 60000 \text{ кг}\) \(v_2 = 0 \text{ м/с}\) Найти: \(u\) — ? Решение: По закону сохранения импульса для неупругого столкновения: \[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u\] Так как \(v_2 = 0\), то: \[u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}\] \[u = \frac{150000 \cdot 2}{150000 + 60000} = \frac{300000}{210000} \approx 1,43 \text{ м/с}\] Ответ: \(1,43 \text{ м/с}\). Задача 3 Дано: \(m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\) \(h = 2,5 \text{ м}\) \(v = 54 \text{ км/ч} = 15 \text{ м/с}\) \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(E\) — ? Решение: Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий: \[E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh\] \[E = \frac{0,5 \cdot 15^2}{2} + 0,5 \cdot 10 \cdot 2,5\] \[E = \frac{0,5 \cdot 225}{2} + 12,5 = 56,25 + 12,5 = 68,75 \text{ Дж}\] Ответ: \(68,75 \text{ Дж}\). Задача 4 Дано: \(h = 15 \text{ м}\) \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(v_0\) — ? Решение: По закону сохранения энергии, кинетическая энергия в момент броска переходит в потенциальную энергию в верхней точке: \[\frac{mv_0^2}{2} = mgh\] Отсюда начальная скорость: \[v_0 = \sqrt{2gh}\] \[v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{300} \approx 17,3 \text{ м/с}\] Ответ: \(17,3 \text{ м/с}\). Задача 5 Дано: \(m = 0,5 \text{ кг}\) \(k = 50 \text{ Н/м}\) \(A = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}\) Найти: \(v_{max}\) — ? Решение: В положении равновесия скорость груза максимальна. По закону сохранения энергии: \[\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}\] \[v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}\] \[v_{max} = 0,1 \cdot \sqrt{\frac{50}{0,5}} = 0,1 \cdot \sqrt{100} = 0,1 \cdot 10 = 1 \text{ м/с}\] Ответ: \(1 \text{ м/с}\). Задача 6 Дано: \(v = 340 \text{ м/с}\) \(\lambda = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) Найти: \(\nu\) — ? Решение: Скорость волны связана с частотой и длиной волны формулой: \[v = \lambda \nu\] Отсюда частота: \[\nu = \frac{v}{\lambda}\] \[\nu = \frac{340}{0,2} = 1700 \text{ Гц}\] Ответ: \(1700 \text{ Гц}\). Задача 7 Дано: \(\nu = 5 \text{ МГц} = 5 \cdot 10^6 \text{ Гц}\) \(t = 2 \text{ мкс} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}\) \(\lambda = 5 \text{ мм} = 0,005 \text{ м}\) Найти: \(h\) — ? Решение: Сначала найдем скорость ультразвука в стали: \[v = \lambda \nu = 0,005 \cdot 5 \cdot 10^6 = 25000 \text{ м/с}\] Сигнал проходит путь до дефекта и обратно, поэтому глубина равна половине пройденного пути: \[h = \frac{v \cdot t}{2}\] \[h = \frac{25000 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{2} = 25000 \cdot 10^{-6} = 0,025 \text{ м} = 2,5 \text{ см}\] Ответ: \(2,5 \text{ см}\).