Синус и Косинус Угла: Объяснение с Примером

Ниже представлены ответы на теоретические вопросы по геометрии, сформулированные кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. Вопрос 2. Объясните, что такое синус и косинус угла \( \alpha \) из промежутка \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Ответ: Пусть на координатной плоскости изображена полуокружность с центром в начале координат \( O(0;0) \) и радиусом \( R = 1 \), расположенная в верхней полуплоскости (единичная полуокружность). От положительного направления оси \( Ox \) отложим угол \( \alpha \). Пусть точка \( M(x; y) \) — точка на полуокружности, соответствующая этому углу. 1) Синусом угла \( \alpha \) называется ордината \( y \) точки \( M \). \[ \sin \alpha = y \] 2) Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса \( x \) точки \( M \). \[ \cos \alpha = x \] Вопрос 3. Что называется тангенсом угла \( \alpha \)? Для какого значения \( \alpha \) тангенс не определен и почему? Ответ: Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса этого угла к его косинусу. \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Тангенс не определен для угла \( \alpha = 90^\circ \). Почему: При \( \alpha = 90^\circ \) абсцисса точки \( M \) (косинус) равна \( 0 \). Так как на ноль делить нельзя, выражение \( \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} \) не имеет смысла. Вопрос 4. Что называется котангенсом угла \( \alpha \)? Для каких значений \( \alpha \) котангенс не определен и почему? Ответ: Котангенсом угла \( \alpha \) называется отношение косинуса этого угла к его синусу. \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Котангенс не определен для углов \( \alpha = 0^\circ \) и \( \alpha = 180^\circ \). Почему: При этих значениях ордината точки \( M \) (синус) равна \( 0 \). Деление на ноль невозможно, поэтому значение котангенса для этих углов не существует.