Решение задачи: найти длину хорды CD

Дано: \(E\) — точка пересечения хорд \(AB\) и \(CD\). \(AE = x\), \(BE = 10\). \(ED = 2x\), \(CE = 2x - 1\). Найти: \(CD\). Решение: По свойству пересекающихся хорд окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \[AE \cdot BE = CE \cdot ED\] Подставим известные значения в формулу: \[x \cdot 10 = (2x - 1) \cdot 2x\] Раскроем скобки в правой части уравнения: \[10x = 4x^2 - 2x\] Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[4x^2 - 12x = 0\] Вынесем общий множитель за скобки: \[4x(x - 3) = 0\] Так как длина отрезка не может быть равна нулю (\(x \neq 0\)), то: \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\] Теперь найдем длины отрезков хорды \(CD\): \[ED = 2x = 2 \cdot 3 = 6\] \[CE = 2x - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5\] Длина всей хорды \(CD\) равна сумме её отрезков: \[CD = CE + ED = 5 + 6 = 11\] Ответ: \(CD = 11\).

Дано: \(AB = 12\) — касательная. \(AD\) — секущая, где \(C\) — точка на окружности. \(CD : AC = 3 : 1\). Найти: \(AD\). Решение: Пусть \(AC = y\) (внешний отрезок секущей), тогда \(CD = 3y\) (внутренний отрезок секущей). Длина всей секущей \(AD\) равна: \[AD = AC + CD = y + 3y = 4y\] По теореме о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: \[AB^2 = AD \cdot AC\] Подставим значения: \[12^2 = 4y \cdot y\] \[144 = 4y^2\] Разделим на 4: \[y^2 = 36\] Так как длина — величина положительная: \[y = 6\] Найдем длину секущей \(AD\): \[AD = 4y = 4 \cdot 6 = 24\] Ответ: \(AD = 24\).