Решение задачи: Двугранный угол с ребром DC в прямоугольнике

Задача №1 Дано: ABCD — прямоугольник, \(S_{ABCD} = 48 \text{ см}^2\), \(DC = 4 \text{ см}\). \(OS \perp (ABC)\), \(OS = 6 \text{ см}\). Найти: величину двугранного угла с ребром DC. Решение: 1. Найдем сторону AD прямоугольника: \[AD = \frac{S_{ABCD}}{DC} = \frac{48}{4} = 12 \text{ см}\] 2. Пусть точка O — центр прямоугольника (точка пересечения диагоналей). Проведем медиану (высоту) OK треугольника ODC к стороне DC. Так как ABCD — прямоугольник, то расстояние от центра O до стороны DC равно половине стороны AD: \[OK = \frac{1}{2} AD = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}\] 3. Так как \(OS \perp (ABC)\) и \(OK \perp DC\), то по теореме о трех перпендикулярах \(SK \perp DC\). Следовательно, \(\angle SKO\) — линейный угол искомого двугранного угла. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK (\(\angle SOK = 90^\circ\)): \[\text{tg}(\angle SKO) = \frac{OS}{OK} = \frac{6}{6} = 1\] \[\angle SKO = 45^\circ\] Ответ: \(45^\circ\). Задача №2 Дано: ABCD — ромб, \(BD = 8 \text{ см}\). \(SC \perp (ABC)\), \(SC = 16 \text{ см}\). Двугранный угол с ребром BD равен \(45^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны (\(AC \perp BD\)). 2. Так как \(SC \perp (ABC)\) и \(CO \perp BD\), то по теореме о трех перпендикулярах \(SO \perp BD\). Значит, \(\angle SOC\) — линейный угол двугранного угла с ребром BD. По условию \(\angle SOC = 45^\circ\). 3. В прямоугольном треугольнике SCO (\(\angle SCO = 90^\circ\)): \[CO = \frac{SC}{\text{tg}(45^\circ)} = \frac{16}{1} = 16 \text{ см}\] 4. Диагональ AC ромба в два раза больше CO: \[AC = 2 \cdot CO = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см}\] 5. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 8 = 128 \text{ см}^2\] Ответ: \(128 \text{ см}^2\). Задача №3 Дано: ABCD — параллелограмм, \(\angle ADC = 150^\circ\), \(AD = 16 \text{ см}\), \(DC = 12 \text{ см}\). \(SC \perp (ABC)\), \(SC = 18 \text{ см}\). Найти: величину двугранного угла с ребром AD и \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Найдем площадь параллелограмма: \[S_{ABCD} = AD \cdot DC \cdot \sin(180^\circ - 150^\circ) = 16 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot 12 \cdot 0,5 = 96 \text{ см}^2\] 2. Проведем высоту CH параллелограмма к стороне AD. В треугольнике CHD (\(\angle CHD = 90^\circ\), \(\angle CDH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)): \[CH = DC \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 0,5 = 6 \text{ см}\] 3. Так как \(SC \perp (ABC)\) и \(CH \perp AD\), то по теореме о трех перпендикулярах \(SH \perp AD\). Значит, \(\angle SHC\) — линейный угол искомого двугранного угла. 4. В прямоугольном треугольнике SCH (\(\angle SCH = 90^\circ\)): \[\text{tg}(\angle SHC) = \frac{SC}{CH} = \frac{18}{6} = 3\] \[\angle SHC = \text{arctg}(3)\] Ответ: \(S_{ABCD} = 96 \text{ см}^2\), угол равен \(\text{arctg}(3)\).