Решение задачи по геометрии: подобие треугольников ABC и A1B1C1

Домашнее задание по геометрии Задача №1 Дано: \( \triangle ABC \), \( \triangle A_1B_1C_1 \) \( AB = 2a \), \( AC = 2b \), \( BC = 10 \) \( A_1B_1 = 3a \), \( A_1C_1 = 3b \) \( \angle A = \angle A_1 \) (отмечено дугами на рисунке) \( \angle C = 71^\circ \) Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) Найти: \( \angle C_1 \), \( B_1C_1 \) Решение: 1. Докажем подобие треугольников по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Найдем отношения соответствующих сторон: \[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{3a}{2a} = \frac{3}{2} = 1,5 \] \[ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2} = 1,5 \] Так как \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} \) и \( \angle A = \angle A_1 \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с коэффициентом подобия \( k = 1,5 \). 2. В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Следовательно, \( \angle C_1 = \angle C = 71^\circ \). 3. Найдем сторону \( B_1C_1 \), используя коэффициент подобия: \[ \frac{B_1C_1}{BC} = k \Rightarrow B_1C_1 = BC \cdot k \] \[ B_1C_1 = 10 \cdot 1,5 = 15 \] Ответ: \( \angle C_1 = 71^\circ \), \( B_1C_1 = 15 \). Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \), \( \triangle A_1B_1C_1 \) \( AB = 10a \), \( BC = 14b \), \( AC = 12c \) \( A_1B_1 = 5a \), \( B_1C_1 = 7b \), \( A_1C_1 = 6c \) \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B_1 = 40^\circ \) Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) Найти: \( \angle C \), \( \angle C_1 \) Решение: 1. Докажем подобие треугольников по третьему признаку (по трем пропорциональным сторонам). Проверим отношения сторон: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10a}{5a} = 2 \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{14b}{7b} = 2 \] \[ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12c}{6c} = 2 \] Так как \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 2 \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \). 2. В подобных треугольниках соответствующие углы равны: \( \angle A = \angle A_1 = 80^\circ \) \( \angle B = \angle B_1 = 40^\circ \) 3. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем неизвестные углы: \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \] \[ \angle C = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Так как треугольники подобны, то \( \angle C_1 = \angle C = 60^\circ \). Ответ: \( \angle C = 60^\circ \), \( \angle C_1 = 60^\circ \).