Решение задачи по геометрии: Нахождение KC

Дано: Плоскости \( (AKB) \perp (ACB) \). \( \triangle AKB \) — равнобедренный (\( KA = KB = 42 \) см). \( \triangle ACB \) — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \), \( CA = 42 \) см, \( CB = 56 \) см, \( AB = 70 \) см). Найти: \( KC \). Решение: 1. Пусть \( H \) — середина гипотенузы \( AB \). Так как \( \triangle AKB \) равнобедренный (\( KA = KB \)), то медиана \( KH \) является также его высотой. Следовательно, \( KH \perp AB \). 2. По условию плоскости \( (AKB) \) и \( (ACB) \) перпендикулярны, а \( AB \) — линия их пересечения. Так как \( KH \perp AB \) и \( KH \subset (AKB) \), то по свойству перпендикулярных плоскостей \( KH \perp (ACB) \). 3. Рассмотрим \( \triangle AKB \). В нем \( H \) — середина \( AB \), значит \( AH = \frac{AB}{2} = \frac{70}{2} = 35 \) см. Из прямоугольного \( \triangle AKH \) по теореме Пифагора найдем \( KH \): \[ KH = \sqrt{KA^2 - AH^2} = \sqrt{42^2 - 35^2} = \sqrt{(42-35)(42+35)} = \sqrt{7 \cdot 77} = \sqrt{7 \cdot 7 \cdot 11} = 7\sqrt{11} \text{ см.} \] 4. В прямоугольном \( \triangle ACB \) отрезок \( CH \) является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: \[ CH = \frac{AB}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см.} \] 5. Так как \( KH \perp (ACB) \), то \( KH \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, \( KH \perp CH \). Значит, \( \triangle KHC \) — прямоугольный (\( \angle KHC = 90^\circ \)). 6. По теореме Пифагора для \( \triangle KHC \): \[ KC = \sqrt{KH^2 + CH^2} \] Подставим значения: \[ KC = \sqrt{(7\sqrt{11})^2 + 35^2} = \sqrt{49 \cdot 11 + 1225} = \sqrt{539 + 1225} = \sqrt{1764} \] \[ KC = 42 \text{ см.} \] Ответ: \( KC = 42 \) см.