Решение задачи: определение скорости и ускорения по радиус-вектору

На изображении отсутствует само выражение для радиус-вектора. Обычно в таких задачах оно имеет вид \( \vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} \). Для примера решим задачу, взяв типовое выражение: \[ \vec{r}(t) = (3t^2)\vec{i} + (4t)\vec{j} \] Дано: \[ \vec{r}(t) = 3t^2 \cdot \vec{i} + 4t \cdot \vec{j} \] \[ t = 1 \, \text{с} \] Решение: 1) Вектор скорости \( \vec{v} \) находится как первая производная радиус-вектора по времени: \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d(3t^2)}{dt}\vec{i} + \frac{d(4t)}{dt}\vec{j} = 6t\vec{i} + 4\vec{j} \] 2) Вектор ускорения \( \vec{a} \) находится как производная вектора скорости: \[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(6t)}{dt}\vec{i} + \frac{d(4)}{dt}\vec{j} = 6\vec{i} + 0\vec{j} = 6\vec{i} \] 3) Модуль радиус-вектора: \[ r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3t^2)^2 + (4t)^2} = \sqrt{9t^4 + 16t^2} \] 4) Модуль вектора скорости: \[ v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(6t)^2 + 4^2} = \sqrt{36t^2 + 16} \] 5) Модуль вектора ускорения: \[ a = |\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \] 6) Кинематические уравнения (зависимость координат от времени): \[ x(t) = 3t^2 \] \[ y(t) = 4t \] 7) Уравнение траектории \( y(x) \). Выразим \( t \) из уравнения для \( y \): \[ t = \frac{y}{4} \] Подставим в уравнение для \( x \): \[ x = 3 \cdot \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \frac{3y^2}{16} \] Или выразим \( y \): \[ y = 4\sqrt{\frac{x}{3}} \] 8) Найдем значения модулей при \( t = 1 \, \text{с} \): Радиус-вектор: \[ r(1) = \sqrt{9(1)^4 + 16(1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{м} \] Скорость: \[ v(1) = \sqrt{36(1)^2 + 16} = \sqrt{52} \approx 7,21 \, \text{м/с} \] Ускорение: \[ a(1) = 6 \, \text{м/с}^2 \] Примечание: Если в вашем задании дано другое выражение для \( \vec{r}(t) \), алгоритм решения остается таким же: нужно последовательно брать производные и использовать теорему Пифагора для нахождения модулей.