Решение задачи: Прямая и плоскость

Дано: Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\). Угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\beta\) равен \(30^{\circ}\). Точка \(P \in a\). Точка \(R\) — проекция точки \(P\) на плоскость \(\beta\). \(PR = 9\) см. Найти: \(PC\). Решение: 1. По определению проекции, отрезок \(PR\) перпендикулярен плоскости \(\beta\). Следовательно, \(PR \perp RC\), и треугольник \(PRC\) является прямоугольным (\(\angle PRC = 90^{\circ}\)). 2. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Таким образом, угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\beta\) — это угол \(\angle PCR\). По условию \(\angle PCR = 30^{\circ}\). 3. В прямоугольном треугольнике \(PRC\) катет \(PR\) лежит против угла в \(30^{\circ}\). По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы. Гипотенузой в данном треугольнике является отрезок \(PC\). 4. Запишем соотношение: \[PR = \frac{1}{2} \cdot PC\] Отсюда выразим \(PC\): \[PC = 2 \cdot PR\] \[PC = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см.}\] Ответ: \(PC = 18\) см.