Решение задач по геометрии: средняя линия и площадь трапеции

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(DE\) — средняя линия \(\triangle ABC\), \(S_{CDE} = 12\). Найти: \(S_{ABC}\). Решение: Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Отсюда: \[ S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 12 = 48 \] Ответ: 48. Задача 2. Дано: трапеция, основания \(a = 18\), \(b = 12\), боковая сторона \(c = 6\), \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\). Найти: \(S\). Решение: Высота трапеции \(h\) находится из прямоугольного треугольника: \[ h = c \cdot \sin \alpha = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = 30 \] Ответ: 30. Задача 3. Дано: \(\triangle\) прямоугольный, \(S = \frac{800\sqrt{3}}{3}\), \(\alpha = 30^\circ\). Найти: прилежащий катет \(b\). Решение: Пусть \(b\) — искомый катет. Противолежащий катет \(a = b \cdot \tan 30^\circ = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\). Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot b = \frac{b^2 \sqrt{3}}{6} \] Приравняем к данному значению: \[ \frac{b^2 \sqrt{3}}{6} = \frac{800\sqrt{3}}{3} \] \[ b^2 = \frac{800 \cdot 6}{3} = 1600 \] \[ b = \sqrt{1600} = 40 \] Ответ: 40. Задача 4. Дано: ромб \(ABCD\), \(BH \perp AD\), \(AH = 11\), \(HD = 50\). Найти: \(S\). Решение: Сторона ромба \(AD = AH + HD = 11 + 50 = 61\). Так как это ромб, все его стороны равны: \(AB = AD = 61\). Из прямоугольного \(\triangle ABH\) по теореме Пифагора найдем высоту \(BH\): \[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{(61-11)(61+11)} = \sqrt{50 \cdot 72} = \sqrt{3600} = 60 \] Площадь ромба: \[ S = AD \cdot BH = 61 \cdot 60 = 3660 \] Ответ: 3660. Задача 5. Дано: прямоугольник, \(P = 58\), одна сторона на 5 больше другой. Найти: \(S\). Решение: Пусть одна сторона \(x\), тогда другая \(x + 5\). Периметр: \(2(x + x + 5) = 58\) \[ 2x + 5 = 29 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \] Стороны равны 12 и \(12 + 5 = 17\). Площадь: \[ S = 12 \cdot 17 = 204 \] Ответ: 204. Задача 6. Дано: равносторонний \(\triangle\), \(a = 10\). Найти: \(S / \sqrt{3}\). Решение: Площадь равностороннего треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \] Искомое значение: \[ \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \] Ответ: 25. Задача 7. Дано: квадрат, \(P = 24\). Найти: \(S\). Решение: Сторона квадрата: \(a = P / 4 = 24 / 4 = 6\). Площадь: \[ S = a^2 = 6^2 = 36 \] Ответ: 36. Задача 8. Дано: сектор, \(R = 3\), \(\alpha = 120^\circ\). Найти: \(S / \pi\). Решение: Площадь кругового сектора: \[ S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot 9}{3} = 3\pi \] Искомое значение: \[ \frac{3\pi}{\pi} = 3 \] Ответ: 3.