Решение Задания 9: Яхта и Плот

Задание 9 Решение: 1. Найдем время, которое плот находился в пути. Так как плот движется со скоростью течения реки, его скорость \( v_{пл} = 2 \) км/ч. Расстояние, которое он проплыл, составляет 38 км. \[ t_{пл} = \frac{S_{пл}}{v_{пл}} = \frac{38}{2} = 19 \text{ (ч)} \] 2. Яхта вышла на 1 час позже плота и вернулась в пункт А в тот момент, когда плот проплыл 38 км. Значит, яхта находилась в движении на 1 час меньше, чем плот: \[ t_{яхты} = 19 - 1 = 18 \text{ (ч)} \] 3. Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость яхты (в неподвижной воде). Тогда скорость яхты по течению равна \( (x + 2) \) км/ч, а против течения — \( (x - 2) \) км/ч. 4. Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Составим уравнение для времени движения яхты туда и обратно: \[ \frac{160}{x + 2} + \frac{160}{x - 2} = 18 \] 5. Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения расчетов: \[ \frac{80}{x + 2} + \frac{80}{x - 2} = 9 \] 6. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{80(x - 2) + 80(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 9 \] \[ \frac{80x - 160 + 80x + 160}{x^2 - 4} = 9 \] \[ \frac{160x}{x^2 - 4} = 9 \] 7. Перейдем к квадратному уравнению: \[ 160x = 9(x^2 - 4) \] \[ 9x^2 - 160x - 36 = 0 \] 8. Найдем дискриминант: \[ D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \] 9. Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \] \[ x_2 = \frac{160 - 164}{18} = -\frac{4}{18} \text{ (не подходит, так как скорость должна быть положительной)} \] Следовательно, собственная скорость яхты равна 18 км/ч. Ответ: 18