Решение задач по физике: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \(V = 40 \text{ л} = 0,04 \text{ м}^3\) \(t = 27^\circ\text{C} \Rightarrow T = 300 \text{ К}\) \(P = 20 \text{ ата} \approx 20 \cdot 10^5 \text{ Па}\) \(M = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\) (азот \(N_2\)) \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\) \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(P_{вес} - ?\) Решение: Из уравнения Менделеева-Клапейрона \(PV = \frac{m}{M}RT\) выразим массу газа: \[m = \frac{PVM}{RT}\] Подставим значения: \[m = \frac{20 \cdot 10^5 \cdot 0,04 \cdot 28 \cdot 10^{-3}}{8,31 \cdot 300} \approx 0,898 \text{ кг}\] Вес содержимого баллона: \[P_{вес} = mg = 0,898 \cdot 9,8 \approx 8,8 \text{ Н}\] Ответ: \(8,8 \text{ Н}\). Задача 2 Дано: \(m = 0,898 \text{ кг}\), \(M = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\), \(T = 300 \text{ К}\) Азот — двухатомный газ (\(i = 5\)), где \(i_{пост} = 3\), \(i_{вращ} = 2\). Найти: \(E_{пост} - ?\), \(E_{вращ} - ?\) Решение: Энергия определяется по формуле \(E = \frac{i}{2} \frac{m}{M} RT\). Для поступательного движения: \[E_{пост} = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT = \frac{3}{2} PV = 1,5 \cdot 20 \cdot 10^5 \cdot 0,04 = 120000 \text{ Дж} = 120 \text{ кДж}\] Для вращательного движения: \[E_{вращ} = \frac{2}{2} \frac{m}{M} RT = PV = 20 \cdot 10^5 \cdot 0,04 = 80000 \text{ Дж} = 80 \text{ кДж}\] Ответ: \(120 \text{ кДж}\); \(80 \text{ кДж}\). Задача 3 Дано: \(T = 300 \text{ К}\), \(M = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\) Найти: \(v_{кв} - ?\) Решение: Среднеквадратичная скорость молекул: \[v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\] \[v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \cdot 300}{28 \cdot 10^{-3}}} \approx \sqrt{267107} \approx 517 \text{ м/с}\] Ответ: \(517 \text{ м/с}\). Задача 7 Дано: \(h_1 = 5 \text{ км}\), \(P_1 = 0,53 \text{ атм}\) \(h_2 = 10 \text{ км}\), \(P_0 = 1 \text{ атм}\) Найти: \(P_2 - ?\) Решение: В приближении изотермической атмосферы давление убывает по экспоненте: \(P(h) = P_0 e^{-\alpha h}\). Тогда \(\frac{P_1}{P_0} = e^{-\alpha h_1}\). На высоте \(h_2 = 2h_1\) давление будет: \[P_2 = P_0 (e^{-\alpha h_1})^2 = P_0 \left(\frac{P_1}{P_0}\right)^2\] \[P_2 = 1 \cdot (0,53)^2 = 0,2809 \text{ атм}\] Ответ: \(0,28 \text{ атм}\). Задача 8 Дано: \(M_{Fe} = 56 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\) Найти: \(c - ?\) Решение: По закону Дюлонга и Пти молярная теплоемкость твердых тел \(C_{\mu} \approx 3R\). Удельная теплоемкость: \[c = \frac{3R}{M} = \frac{3 \cdot 8,31}{56 \cdot 10^{-3}} \approx 445 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\] Справочное значение для железа составляет около \(450 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\). Результаты практически совпадают. Ответ: \(445 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\). Задача 9 Дано: \(V = 1 \text{ л} \Rightarrow m = 1 \text{ кг}\) \(t_1 = 20^\circ\text{C}\), \(t_2 = 30^\circ\text{C}\) \(c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) Найти: \(Q - ?\) Решение: \[Q = cm(t_2 - t_1)\] \[Q = 4200 \cdot 1 \cdot (30 - 20) = 42000 \text{ Дж} = 42 \text{ кДж}\] Ответ: \(42 \text{ кДж}\). Задача 10 Дано: \(t_1 = 400^\circ\text{C} \Rightarrow T_1 = 673 \text{ К}\) \(t_2 = 200^\circ\text{C} \Rightarrow T_2 = 473 \text{ К}\) Найти: \(\eta_{max} - ?\) Решение: Максимально возможный К.П.Д. соответствует циклу Карно: \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}\] \[\eta = \frac{673 - 473}{673} = \frac{200}{673} \approx 0,297 \text{ или } 29,7\%\] Ответ: \(29,7\%\).