Решение задачи №1. Подобные треугольники. Вариант 2

Контрольная работа № 3. По теме «Подобные треугольники» Вариант 2 Задача 1 Дано: \(PE \parallel NK\) \(MP = 8\) \(MN = 12\) \(ME = 6\) Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\). Решение: а) Рассмотрим треугольники \(MPE\) и \(MNK\). Так как \(PE \parallel NK\), то \(\angle MPE = \angle MNK\) и \(\angle MEP = \angle MKN\) как соответствующие углы при параллельных прямых и секущих \(MN\) и \(MK\). Следовательно, \(\triangle MPE \sim \triangle MNK\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} \] Подставим известные значения: \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \] \[ MK = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9 \] б) Отношение сторон \(PE\) и \(NK\) равно коэффициенту подобия \(k\): \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Ответ: а) \(MK = 9\); б) \(PE : NK = 2 : 3\). Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^{\circ}\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^{\circ}\). \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^{\circ}\). Найти: \(AC\) и \(\angle C\). Решение: Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MNK\). 1) \(\angle B = \angle N = 70^{\circ}\). 2) Проверим отношение сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = 2\). Из подобия следует: \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} \] \[ \angle C = \angle K = 60^{\circ} \] Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^{\circ}\). Задача 3 Дано: \(AB \cap CD = O\) \(\angle ACO = \angle BDO\) \(AO : OB = 2 : 3\) \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\). 1) \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию). 2) \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = \frac{AO}{OB} \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ P_{ACO} = \frac{21 \cdot 2}{3} = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см} \] Ответ: \(P_{ACO} = 14\) см. Задача 4 Дано: Трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). \(AC \cap BD = O\). \(S_{AOD} = 32 \text{ см}^2\), \(S_{BOC} = 8 \text{ см}^2\). Большее основание \(AD > 10\) см. Найти: меньшее основание \(BC\). Решение: Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны по двум углам (\(\angle CAD = \angle ACB\) и \(\angle BDA = \angle DBC\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\)). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 \] \[ k^2 = \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow k = 2 \] Коэффициент подобия также равен отношению оснований: \[ \frac{AD}{BC} = k = 2 \Rightarrow AD = 2 \cdot BC \] В условии сказано, что большее основание (\(AD\)) больше 10 см. Однако для нахождения \(BC\) нам не хватает данных о длине \(AD\). Если предположить, что в условии опечатка и \(AD\) известно (например, \(AD = 12\)), то \(BC = 6\). Если же нужно выразить через \(AD\): \[ BC = \frac{AD}{2} \] Ответ: \(BC = \frac{AD}{2}\).