Решение задачи 14.2: Исследование функции y = tg x

Решение задачи №14.2 Функция \( y = \text{tg } x \) является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Это значит, что на любом отрезке \( [a; b] \), входящем в область определения, наименьшее значение достигается в левом конце, а наибольшее — в правом. а) На интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \): На данном интервале функция \( y = \text{tg } x \) принимает любые значения от \( -\infty \) до \( +\infty \). Ответ: Наименьшего и наибольшего значений не существует. б) На полуинтервале \( \left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right] \): Функция возрастает. В точке \( x = \pi \) она принимает наибольшее значение: \[ y_{\text{наиб}} = \text{tg } \pi = 0 \] Так как левая граница \( \frac{3\pi}{4} \) не включена в промежуток, наименьшего значения не существует (значения стремятся к \( \text{tg } \frac{3\pi}{4} = -1 \), но не достигают его). Ответ: \( y_{\text{наиб}} = 0 \); наименьшего значения нет. в) На отрезке \( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right] \): Функция возрастает на всём отрезке. Наименьшее значение в левой точке: \[ y_{\text{наим}} = \text{tg } \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 \] Наибольшее значение в правой точке: \[ y_{\text{наиб}} = \text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \( y_{\text{наим}} = -1 \); \( y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). г) На полуинтервале \( \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \): Функция возрастает. В точке \( x = \pi \) она принимает наименьшее значение: \[ y_{\text{наим}} = \text{tg } \pi = 0 \] При приближении к \( \frac{3\pi}{2} \) слева значения функции неограниченно растут (\( y \to +\infty \)). Ответ: \( y_{\text{наим}} = 0 \); наибольшего значения нет.