Решение задачи: Наибольшее и наименьшее значение ctg x

Решение задачи №14.5 Функция \( y = \text{ctg } x \) является убывающей на каждом интервале своей области определения. Это означает, что на заданном отрезке \( [a; b] \) наибольшее значение функция принимает в левом конце, а наименьшее — в правом. а) На отрезке \( \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right] \): Так как функция убывает: Наибольшее значение в левой точке: \[ y_{\text{наиб}} = \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1 \] Наименьшее значение в правой точке: \[ y_{\text{наим}} = \text{ctg } \frac{\pi}{2} = 0 \] Ответ: \( y_{\text{наиб}} = 1 \); \( y_{\text{наим}} = 0 \). б) На полуинтервале \( \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right) \): Функция убывает. В точке \( x = \frac{\pi}{2} \) она принимает наибольшее значение: \[ y_{\text{наиб}} = \text{ctg } \frac{\pi}{2} = 0 \] При приближении к \( \pi \) слева значения функции неограниченно убывают (\( y \to -\infty \)). Ответ: \( y_{\text{наиб}} = 0 \); наименьшего значения нет. в) На интервале \( (-\pi; 0) \): На данном интервале функция \( y = \text{ctg } x \) принимает любые значения от \( -\infty \) до \( +\infty \). Ответ: Наименьшего и наибольшего значений не существует. г) На отрезке \( \left[ \frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4} \right] \): Функция убывает на всём отрезке. Наибольшее значение в левой точке: \[ y_{\text{наиб}} = \text{ctg } \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \] Наименьшее значение в правой точке: \[ y_{\text{наим}} = \text{ctg } \frac{3\pi}{4} = -1 \] Ответ: \( y_{\text{наиб}} = \sqrt{3} \); \( y_{\text{наим}} = -1 \).