Решение: Вариант 2

Вариант 2. 1. Теоретическая часть. Выпишите номера ошибочных утверждений. Ошибочными являются утверждения под номерами: 2, 4, 5. Пояснение для тетради: 2 — В прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла, так как сумма углов 180 градусов. 4 — Если катет равен половине гипотенузы, то угол против него равен \(30^{\circ}\), а не \(60^{\circ}\). 5 — Для равенства треугольников по катету нужно равенство еще одного элемента (другого катета или прилежащего острого угла). 2. Тестовая часть. Задача 1. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle A = 30^{\circ}\), \(BC = 15\) см. Найти: \(AB\). Решение: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы. \[BC = \frac{1}{2} AB \Rightarrow AB = 2 \cdot BC\] \[AB = 2 \cdot 15 = 30 \text{ (см)}\] Ответ: б) 30 см. Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle A = 45^{\circ}\). Решение: Найдем второй острый угол: \[\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\] Так как \(\angle A = \angle B\), то треугольник равнобедренный, следовательно, катеты равны: \(AC = CB\). Ответ: в) AC = CB. Задача 3. По чертежу найти \(AD\) и \(AB\), если \(CD = 4\) см. Решение: 1) В \(\triangle ADC\) (\(\angle D = 90^{\circ}\)): \(\angle A = 45^{\circ}\), значит \(\angle ACD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\). Треугольник равнобедренный, \(AD = CD = 4\) см. 2) В \(\triangle ABC\): \(\angle A = 45^{\circ}\), \(\angle C = 90^{\circ}\), значит \(\angle B = 45^{\circ}\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AC = BC\). 3) В \(\triangle CDB\): \(\angle D = 90^{\circ}\), \(\angle B = 45^{\circ}\), значит \(\angle BCD = 45^{\circ}\). Треугольник равнобедренный, \(DB = CD = 4\) см. 4) \(AB = AD + DB = 4 + 4 = 8\) см. Ответ: б) 4 см, 8 см. 3. Практическая часть. Задача 1. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CC_1\) — высота, \(CC_1 = 5\) см, \(BC = 10\) см. Найти: \(\angle CAB\). Решение: Рассмотрим прямоугольный \(\triangle CC_1B\) (\(\angle CC_1B = 90^{\circ}\)). В нем катет \(CC_1 = 5\) см, а гипотенуза \(BC = 10\) см. Так как катет в два раза меньше гипотенузы (\(5 = \frac{10}{2}\)), то угол, лежащий против этого катета, равен \(30^{\circ}\). \[\angle B = 30^{\circ}\] В основном \(\triangle ABC\): \[\angle CAB = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\] Ответ: \(60^{\circ}\). Задача 2. Дано: \(\triangle MNP\), \(NK\) — высота, \(NK \perp MP\), \(O\) — точка пересечения биссектрисы \(\angle M\) и высоты \(NK\), \(OK = 9\) см. Найти: расстояние от \(O\) до \(MN\). Решение: 1) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Пусть \(OH \perp MN\). 2) Точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(M\). 3) По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. 4) Стороны угла \(M\) — это прямые \(MP\) и \(MN\). 5) Перпендикуляр к \(MP\) — это отрезок \(OK\) (так как \(NK \perp MP\)), его длина 9 см. 6) Значит, перпендикуляр к \(MN\) (отрезок \(OH\)) также равен \(OK\). \[OH = OK = 9 \text{ см}\] Ответ: 9 см.