Контрольная работа №2 Треугольники Вариант 2: Решение

Контрольная работа №2 по теме "Треугольники" Вариант 2 Теоретическая часть 1. Выпишите номера правильных утверждений. 1) В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) противолежит к стороне \(BC\). (Верно) 2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Неверно, это признак подобия, а не равенства) 3) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой. (Верно) 4) Любой равнобедренный треугольник является тупоугольным. (Неверно) 5) Остроугольный треугольник является равнобедренным. (Неверно) 5) Разность смежных углов равна \(0^{\circ}\). (Неверно, только если они по \(90^{\circ}\)) 6) Если угол равен \(135^{\circ}\), то вертикальный с ним угол равен \(135^{\circ}\). (Верно) 7) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна \(100^{\circ}\). (Неверно, она равна \(90^{\circ}\)) Ответ: 1, 3, 6. 2. Используя рисунок, укажите верные утверждения. На рисунке видно: \(AM = MC = 5\), значит \(BM\) — медиана. Отрезок \(AH\) перпендикулярен \(BC\), значит \(AH\) — высота. 1) \(AH\) — медиана (Нет) 2) \(BM\) — медиана (Да) 3) \(AH\) — высота (Да) 4) \(BM\) — биссектриса (Нет данных) 5) \(\triangle ABC\) — равнобедренный (Нет, стороны \(AB\) и \(BC\) не равны, так как \(BH=3\), \(HC=4\), \(BC=7\)) Ответ: 2, 3. 3. Укажите номера рисунков, на которых изображены равнобедренные треугольники. 1) Углы при основании должны быть равны. Если один угол \(73^{\circ}\), а сумма \(180^{\circ}\), нужно больше данных. 2) Углы \(35^{\circ}\) и \(90^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}\). Не равнобедренный. 3) Углы \(40^{\circ}\) и \(60^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ}\). Не равнобедренный. 4) Углы \(75^{\circ}\) и \(30^{\circ}\). Третий угол: \(180^{\circ} - 75^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}\). Два угла равны (\(75^{\circ}\) и \(75^{\circ}\)), значит треугольник равнобедренный. Ответ: 4. Практическая часть Задача 4. Дано: \(\triangle POR\) — равнобедренный, \(PR\) — основание, \(\angle 2 = 42^{\circ}\). Найти: \(\angle 1\). Решение: 1) Углы \(\angle ORP\) и \(\angle 2\) являются вертикальными, следовательно, \(\angle ORP = \angle 2 = 42^{\circ}\). 2) Так как \(\triangle POR\) равнобедренный с основанием \(PR\), то углы при основании равны: \(\angle OPR = \angle ORP = 42^{\circ}\). 3) Угол \(\angle 1\) и угол \(\angle OPR\) являются смежными. Их сумма равна \(180^{\circ}\). \[ \angle 1 = 180^{\circ} - \angle OPR = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ} \] Ответ: \(138^{\circ}\). Задача 5. Дано: \(\angle KAD = 40^{\circ}\), \(\angle C = 105^{\circ}\). Найти: углы \(\triangle ABC\). Решение: 1) Углы \(\angle BAC\) и \(\angle KAD\) — вертикальные, значит \(\angle BAC = \angle KAD = 40^{\circ}\). 2) Угол \(\angle C\) в треугольнике дан по условию: \(\angle BCA = 105^{\circ}\). 3) Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Найдем \(\angle B\): \[ \angle B = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ} \] Ответ: \(40^{\circ}, 105^{\circ}, 35^{\circ}\). Задача 6. Дано: \(\triangle\) — прямоугольный, один острый угол на \(23^{\circ}\) меньше другого. Найти: острые углы. Решение: Пусть первый острый угол равен \(x\), тогда второй острый угол равен \(x + 23^{\circ}\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^{\circ}\). Составим уравнение: \[ x + (x + 23^{\circ}) = 90^{\circ} \] \[ 2x + 23^{\circ} = 90^{\circ} \] \[ 2x = 90^{\circ} - 23^{\circ} \] \[ 2x = 67^{\circ} \] \[ x = 33,5^{\circ} \] (или \(33^{\circ} 30'\)) Второй угол: \[ 33,5^{\circ} + 23^{\circ} = 56,5^{\circ} \] (или \(56^{\circ} 30'\)) Ответ: \(33,5^{\circ}\) и \(56,5^{\circ}\).