Задача №124: Решение и объяснение

Задача №124 Дано: \(m_1 = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}\) \(m_2 = 60 \text{ г} = 0,06 \text{ кг}\) \(D = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}\) \(\varepsilon = 1,5 \text{ рад/с}^2\) \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(I\) — ? Решение: 1. Радиус блока равен половине его диаметра: \[R = \frac{D}{2} = \frac{0,04}{2} = 0,02 \text{ м}\] 2. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов в проекции на вертикальную ось. Так как \(m_2 > m_1\), система движется в сторону второго груза с линейным ускорением \(a\). Для первого груза: \[T_1 - m_1 g = m_1 a\] Для второго груза: \[m_2 g - T_2 = m_2 a\] Отсюда выразим силы натяжения нити: \[T_1 = m_1(g + a)\] \[T_2 = m_2(g - a)\] 3. Запишем основной закон динамики вращательного движения для блока: \[M = I \varepsilon\] Момент сил \(M\), вызывающий вращение, создается разностью сил натяжения нитей: \[M = (T_2 - T_1) R\] Следовательно: \[(T_2 - T_1) R = I \varepsilon\] 4. Линейное ускорение грузов \(a\) связано с угловым ускорением блока \(\varepsilon\) соотношением: \[a = \varepsilon R\] Подставим это в выражения для \(T_1\) и \(T_2\): \[T_1 = m_1(g + \varepsilon R)\] \[T_2 = m_2(g - \varepsilon R)\] 5. Подставим силы натяжения в уравнение вращательного движения: \[(m_2(g - \varepsilon R) - m_1(g + \varepsilon R)) R = I \varepsilon\] \[(m_2 g - m_2 \varepsilon R - m_1 g - m_1 \varepsilon R) R = I \varepsilon\] \[(g(m_2 - m_1) - \varepsilon R(m_1 + m_2)) R = I \varepsilon\] 6. Выразим момент инерции \(I\): \[I = \frac{R (g(m_2 - m_1) - \varepsilon R(m_1 + m_2))}{\varepsilon}\] 7. Произведем расчет: \[I = \frac{0,02 \cdot (9,8 \cdot (0,06 - 0,05) - 1,5 \cdot 0,02 \cdot (0,05 + 0,06))}{1,5}\] \[I = \frac{0,02 \cdot (9,8 \cdot 0,01 - 0,03 \cdot 0,11)}{1,5}\] \[I = \frac{0,02 \cdot (0,098 - 0,0033)}{1,5}\] \[I = \frac{0,02 \cdot 0,0947}{1,5} \approx 0,00126 \text{ кг} \cdot \text{м}^2\] Переведем в более удобные единицы: \[I = 1,26 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot \text{м}^2\] Ответ: \(I = 1,26 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot \text{м}^2\).