Вычисление логарифмов: решение и объяснение

Вариант 3. Вычислите: 1) \(\log_{7} 49 = \log_{7} 7^2 = 2\) 2) \(\log_{2} \frac{1}{512} = \log_{2} 2^{-9} = -9\) 3) \(\log_{\frac{1}{5}} 125 = \log_{5^{-1}} 5^3 = \frac{3}{-1} = -3\) 4) \(\log_{27} 3 = \log_{3^3} 3^1 = \frac{1}{3}\) 5) \(\lg \sqrt[3]{100} = \lg 100^{\frac{1}{3}} = \lg (10^2)^{\frac{1}{3}} = \lg 10^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\) 6) \(\log_{0,5} 4 \cdot \log_{4} 0,8 = \frac{\log_{4} 0,8}{\log_{4} 0,5} = \log_{0,5} 0,8\) (или через замену основания: \(\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_{4} \frac{4}{5} = -2 \cdot (\log_{4} 4 - \log_{4} 5) = -2(1 - \log_{4} 5)\)) Примечание: обычно в таких заданиях числа подобраны для целого ответа, проверим: \(\log_{0,5} 4 = -2\), тогда \(-2 \log_{4} 0,8 = \log_{4} (0,8)^{-2} = \log_{4} (\frac{4}{5})^{-2} = \log_{4} \frac{25}{16} = \log_{4} 25 - 2\). 7) \(5 \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{7} = 5 \log_{7^{-1}} 7^{\frac{1}{2}} = 5 \cdot \frac{1/2}{-1} = -2,5\) 8) \(4^{\log_{4} 12} = 12\) (по основному логарифмическому тождеству) 9) \(16^{\log_{2} 5} = (2^4)^{\log_{2} 5} = 2^{4 \log_{2} 5} = 2^{\log_{2} 5^4} = 5^4 = 625\) 10) \(4^{3 + \log_{4} 0,3} = 4^3 \cdot 4^{\log_{4} 0,3} = 64 \cdot 0,3 = 19,2\) 11) \(\log_{5} 2,5 + \log_{5} 10 = \log_{5} (2,5 \cdot 10) = \log_{5} 25 = 2\) 12) \(\frac{1}{3} \log_{6} 125 - \log_{6} 30 = \log_{6} 125^{\frac{1}{3}} - \log_{6} 30 = \log_{6} 5 - \log_{6} 30 = \log_{6} \frac{5}{30} = \log_{6} \frac{1}{6} = -1\) 13) \(\log_{\frac{1}{2}} 7 + \log_{\frac{1}{2}} 6 - \log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{7 \cdot 6}{21} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{42}{21} = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1\) 14) \(\log_{9} \log_{8} 2 = \log_{9} (\log_{2^3} 2) = \log_{9} \frac{1}{3} = \log_{3^2} 3^{-1} = -\frac{1}{2} = -0,5\) 15) \(\frac{\frac{1}{5} \log_{3} 32 + \log_{3} \frac{1}{18}}{-4 \log_{2} \sqrt[8]{16}} = \frac{\log_{3} 32^{\frac{1}{5}} + \log_{3} \frac{1}{18}}{-4 \log_{2} 16^{\frac{1}{8}}} = \frac{\log_{3} 2 + \log_{3} \frac{1}{18}}{-4 \cdot \frac{1}{8} \log_{2} 16} = \frac{\log_{3} (2 \cdot \frac{1}{18})}{-\frac{1}{2} \cdot 4} = \frac{\log_{3} \frac{1}{9}}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\)