Решение задачи с комплексными числами: z1 + z2, z1 - z2, z1 * z2

Ниже представлено решение задач Варианта I с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание I Дано: \( z_1 = 2 + 3i \) \( z_2 = 1 - 2i \) Найти: а) \( z_1 + z_2 \) б) \( z_1 - z_2 \) в) \( z_1 \cdot z_2 \) Решение: а) \( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 - 2i) = (2 + 1) + (3i - 2i) = 3 + i \) б) \( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (1 - 2i) = 2 + 3i - 1 + 2i = (2 - 1) + (3i + 2i) = 1 + 5i \) в) \( z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 \) Так как \( i^2 = -1 \), то: \( 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i \) Ответ: а) \( 3 + i \); б) \( 1 + 5i \); в) \( 8 - i \). Задание II Для чисел из задания I найти \( a \) и \( b \), для которых верно равенство: \[ \frac{z_1}{z_2} = a z_1 + b z_2 \] Решение: 1) Найдем частное \( \frac{z_1}{z_2} \), умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( (1 + 2i) \): \[ \frac{2 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{2 + 7i - 6}{1 + 4} = \frac{-4 + 7i}{5} = -0,8 + 1,4i \] 2) Подставим значения в уравнение: \[ -0,8 + 1,4i = a(2 + 3i) + b(1 - 2i) \] \[ -0,8 + 1,4i = 2a + 3ai + b - 2bi \] \[ -0,8 + 1,4i = (2a + b) + (3a - 2b)i \] 3) Составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части: \[ \begin{cases} 2a + b = -0,8 \\ 3a - 2b = 1,4 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( b = -0,8 - 2a \). Подставим во второе: \[ 3a - 2(-0,8 - 2a) = 1,4 \] \[ 3a + 1,6 + 4a = 1,4 \] \[ 7a = 1,4 - 1,6 \] \[ 7a = -0,2 \] \[ a = -\frac{0,2}{7} = -\frac{2}{70} = -\frac{1}{35} \] Найдем \( b \): \[ b = -0,8 - 2 \cdot (-\frac{1}{35}) = -\frac{4}{5} + \frac{2}{35} = \frac{-28 + 2}{35} = -\frac{26}{35} \] Ответ: \( a = -\frac{1}{35} \), \( b = -\frac{26}{35} \). Задание III Записать в алгебраической форме: \[ z = \frac{-41 + 63i}{50} - \frac{6i + 1}{1 - 7i} \] Решение: 1) Преобразуем вторую дробь: \[ \frac{1 + 6i}{1 - 7i} = \frac{(1 + 6i)(1 + 7i)}{(1 - 7i)(1 + 7i)} = \frac{1 + 7i + 6i + 42i^2}{1^2 + 7^2} = \frac{1 + 13i - 42}{1 + 49} = \frac{-41 + 13i}{50} \] 2) Вычтем дроби: \[ z = \frac{-41 + 63i}{50} - \frac{-41 + 13i}{50} = \frac{-41 + 63i + 41 - 13i}{50} = \frac{50i}{50} = i \] Ответ: \( z = i \).