Решение задачи о скрещивающихся прямых в кубе

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для записи в тетрадь. Задача №4 Условие: Точки \(M\) и \(K\) принадлежат рёбрам \(A_1B_1\) и \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Сколько существует прямых, содержащих рёбра куба и скрещивающихся с прямой \(KM\)? Решение: 1. Прямая \(KM\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\). 2. Прямые, содержащие рёбра куба, будут скрещиваться с \(KM\), если они не лежат в плоскости \(ABB_1A_1\) и не пересекают её в точках \(K\) или \(M\). 3. Рёбра, лежащие в плоскости \(ABB_1A_1\): \(AB, BB_1, B_1A_1, A_1A\) (4 ребра) — они либо пересекают, либо параллельны \(KM\). 4. Рёбра, пересекающие плоскость в точках \(A, B, A_1, B_1\): \(AD, BC, A_1D_1, B_1C_1\) (4 ребра). Все они проходят через точки, лежащие на прямой \(KM\) или на её продолжении (так как \(K\) на \(AB\), а \(M\) на \(A_1B_1\)). Значит, они пересекают \(KM\). 5. Оставшиеся рёбра: \(CD, CC_1, C_1D_1, DD_1\) (4 ребра). Эти рёбра не имеют общих точек с плоскостью \(ABB_1A_1\) и не параллельны прямой \(KM\). Следовательно, они все являются скрещивающимися с \(KM\). 6. Однако, нужно проверить внимательно: рёбра \(CC_1, DD_1, CD, C_1D_1\). Также рёбра \(AD, BC, A_1D_1, B_1C_1\) могут быть скрещивающимися, если \(K\) и \(M\) не совпадают с вершинами. По стандартному определению для произвольных точек \(M\) и \(K\) на рёбрах, количество таких прямых равно 8. Это рёбра: \(CC_1, DD_1, CD, C_1D_1, BC, AD, B_1C_1, A_1D_1\), за исключением тех, что имеют общие вершины с \(KM\). В кубе 12 рёбер. 4 лежат в плоскости. Остаётся 8. Ответ: 8. Задача №5 Условие: В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) угол \(BC_1B_1\) равен \(65^\circ\). Найдите угол между прямыми \(C_1B\) и \(DD_1\). Решение: 1. В прямоугольном параллелепипеде ребро \(DD_1\) параллельно ребру \(CC_1\). 2. Угол между прямыми \(C_1B\) и \(DD_1\) равен углу между прямыми \(C_1B\) и \(CC_1\), так как \(DD_1 \parallel CC_1\). 3. Рассмотрим треугольник \(BCC_1\). Он прямоугольный (\(\angle BCC_1 = 90^\circ\)), так как боковое ребро перпендикулярно основанию. 4. Нам дан угол \(\angle BC_1B_1 = 65^\circ\). Заметим, что в грани \(BCC_1B_1\) углы \(\angle BC_1B_1\) и \(\angle BC_1C\) в сумме дают угол грани, но здесь проще: прямая \(B_1C_1\) перпендикулярна плоскости боковой грани \(CDD_1C_1\), значит \(\angle B_1C_1C = 90^\circ\). 5. Тогда угол \(\angle BC_1C = \angle B_1C_1C - \angle BC_1B_1 = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\). Ответ: \(25^\circ\). Задача №6 Условие: Основание прямого параллелепипеда \(KLMNK_1L_1M_1N_1\) — ромб, угол \(K_1L_1M_1\) равен \(150^\circ\). Найдите угол между прямыми \(NL\) и \(L_1M_1\). Решение: 1. Так как параллелепипед прямой, его основания \(KLMN\) и \(K_1L_1M_1N_1\) параллельны и равны. 2. Прямая \(L_1M_1\) параллельна прямой \(LM\). Следовательно, угол между \(NL\) и \(L_1M_1\) равен углу между \(NL\) и \(LM\). 3. В ромбе \(KLMN\) диагональ \(NL\) является биссектрисой его углов. 4. Угол ромба \(\angle KLM = \angle K_1L_1M_1 = 150^\circ\). 5. Угол между диагональю \(NL\) и стороной \(LM\) равен половине угла ромба: \[ \angle NLM = \frac{1}{2} \angle KLM = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \] 6. Угол между прямыми всегда берется острым (от \(0^\circ\) до \(90^\circ\)). \(75^\circ\) подходит под это условие. Ответ: \(75^\circ\).