Решение задач из Варианта 3

Ниже представлено решение задач из Варианта 3, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Один из углов ромба равен \(99^{\circ}\). Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. Решение: Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна \(180^{\circ}\). Так как \(99^{\circ} > 90^{\circ}\), то это тупой угол. Меньший (острый) угол ромба равен: \[180^{\circ} - 99^{\circ} = 81^{\circ}\] Ответ: \(81\). Задача 2. В ромбе \(ABCD\) угол \(ABC\) равен \(68^{\circ}\). Найдите угол \(ACD\). Ответ дайте в градусах. Решение: 1) В ромбе противоположные углы равны, значит \(\angle ADC = \angle ABC = 68^{\circ}\). 2) Стороны ромба равны (\(CD = AD\)), поэтому треугольник \(ACD\) — равнобедренный. 3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle ACD = \angle CAD\). 4) Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Тогда: \[\angle ACD = \frac{180^{\circ} - \angle ADC}{2} = \frac{180^{\circ} - 68^{\circ}}{2} = \frac{112^{\circ}}{2} = 56^{\circ}\] Ответ: \(56\). Задача 3. Сторона ромба равна \(14\), а один из углов этого ромба равен \(150^{\circ}\). Найдите высоту этого ромба. Решение: 1) Найдем острый угол ромба: \(180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\). 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), стороной ромба \(a = 14\) (гипотенуза) и острым углом \(30^{\circ}\). 3) По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы: \[h = \frac{a}{2} = \frac{14}{2} = 7\] Ответ: \(7\). Задача 4. Сторона ромба равна \(7\), а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно \(3\). Найдите площадь ромба. Решение: 1) Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это половина его высоты (\(r = \frac{h}{2}\)), так как точка пересечения диагоналей является центром вписанной окружности. 2) Тогда высота ромба \(h\) равна: \[h = 2 \cdot 3 = 6\] 3) Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = a \cdot h\), где \(a\) — сторона ромба: \[S = 7 \cdot 6 = 42\] Ответ: \(42\).